Читайте также: |
|
Выше уже было отмечено, что во многих случаях Математика производит аналитические преобразования по умолчанию. Например, по умолчанию вычисляются аналитические значения производных и интегралов. Остановимся теперь на типично аналитических операциях.
Разложение функции в степенной ряд:
Series[f, {x, x0, n}]– строит степенной ряд для функции f относительно точки x0 до слагаемого степени n.
Series[f, {x, x0, nx}, {y, y0, ny}]– разложение по двум переменным.
Функция Series позволяет строить ряд Тейлора, а также разложения, включающие отрицательные и дробные степени. Функция Series строит также разложения относительно бесконечной точки.
Пример 13.1:
In[ ] := Series[f[x], {x, a, 3}]
Out[ ] = f[a] + f’[a] (x-a) + 1/2 f’’[a] (x-a)2 + 1/6 f(3)[a] (x-a)3 + O[x-a]4
In[ ] := Series[Exp[Sqrt[x]], {x, 0, 2}]
Out[ ] = 1 + x1/2 + x/2 + (x3/2)/6 + x2/24 + O[x]5/2
In[ ] := Series[Exp[1/x], {x, Infinity, 3}]
Out[ ] = 1 + 1/x + 1/2 (1/x)2 + 1/6 (1/x)3 + O[1/x]4
Пакет Математика содержит ряд функций для преобразования выражений.
Функция Expand[expr] – производит все возведения в степень и перемножения в выражении expr.
Пример 13.2: In[ ] := Expand[(x + 1)(x - 1)] -1 + x2.
ФункцияFactor – производит разложение на множители.
Пример 13.3: In[ ] := Factor[x^2-1]Out[ ] = (-1+x) (1+x)
Функция TrigExpand[expr]– преобразует тригонометрические и гиперболические функции в выражении expr.
Пример 13.4:
1). In[ ] := TrigExpand[Cosh[a + b]] Out[ ] = Cosh[a] Cosh[b] + Sinh[a] Sinh[b].
2). Определим многочлен Чебышева:
In[ ] := P[n_Integer, x_] = Cos[n ArcCos[x]];
С помощью функции TrigExpand можем найти явный вид многочленов Чебышева разной степени:
In[ ] := Table[TrigExpand[P[k, x]], {k,4}]Out[ ] = {x, -1 + 2 x2, -3 x + 4 x3, 1 – 8 x2 + 8 x4}
Функция Simplify[expr, assum] –осуществляет алгебраические преобразования для упрощения выражения expr, используя допущения assum (необязательный элемент).
Пример 13.5: In[ ] := Simplify[ Cos[a] Cos[b] – Sin[a] Sin[b] ] Out[ ] = Cos[a + b].
Функция FullSimplify[expr, assum] –упрощает выражение, используя элементарные и специальные функции.
Пример 13.6:
1). In[ ] := FullSimplify[ Log[8] / Log[2] ] Out[ ] = 3.
2). In[ ] := FullSimplify[ ArcCos[ Sqrt[ 1 – a^2 ]], a > 0 ] Out[ ] = ArcSin[a].
13.2. Интерполяция
InterpolatingPolynomial[data, var] –строит интерполяционный многочлен Ньютона с аргументом var. Исходные данные data для интерполируемой функции f(x)могут быть заданы либо в виде {{x1, f1}, {x2, f2}, …}, либо в виде { f1, f2, …} в том случае, когда xi принимает натуральные значения 1, 2, … .
Пример 13.7. In[ ] := L[x_]=InterpolatingPolynomial[{1, 0, 1, 2}, x]
Out[ ] =
Заметим, что интерполяционный многочлен записан по схеме Горнера – схеме с минимальным количеством умножений (количество умножений равно степени многочлена).
Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 275 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Функция Manipulate | | | Решение алгебраических уравнений |