Преобразование лапласа

Во многих случаях исследование радиотехнических цепей упро­щается и становится более наглядным, если при этом применяется преобразование Лапласа.

Преобразованной по Лапласу функцией /(/) вещественной пе­ременной времени / называют новую функцию F(s) от комплекс­ной переменной s, причем

Это выражение называют интегралом Лапласа. Комплексную пе­ременную

(2.5.11)

называют комплексной частотой, или для краткости просто часто­той. Часто вместо s применяют букву р. Аргументацию в пользу применения s вместо р см. в [3].

Чтобы интеграл сходился, нужно, чтобы /(/) возрастала при a<s не быстрее, чем

(2.5.11)

Экспоненциальная функция времени — достаточно общая функция, с помощью которой можно представить напряжение, воздействую­щее на электрическую цепь, например постоянное или синусои­дальное.

Применим преобразование Лапласа к экспоненциальной функ­ции (2.5.11). Подставляя в интеграл Лапласа (2.94) экспоненциаль­ную функцию (2..5.11), находим

(2.5.12)

В частном случае а = 0, что соответствует включению в момент t — О единичного скачка напряжения.

Единичный скачок напряжения можно обозначить:

Для единичного скачка

(2.5.13)

Исходная (преобразуемая) функция f(t) называется оригиналом, а преобразованная функция F(s) — изображением.

Оригиналы функций и их изображения приведены в табл. 2.1, называемой таблицей соответствий оригиналов и изображений.

Отсюда следует, что

Заменяя /со на s, получаем

Пример. Для интегрирующей цепи (см. рис. 2.4.1):

Согласно (2.5.13) или строке 2 таблицы соответствий

Следовательно,

Согласно строке 5 таблицы соответствий находим

Дата добавления: 2015-07-08