Глобальные кинематические характеристики

В наиболее общем случае сферическое движение тела с тремя степенями свободы описывается (задается) тремя обобщенными координатами. Эйлер предложил в качестве обобщенных координат, определяющих ориентацию тела, принять три независимых угла поворота . При задании трех углов предполагается, что тело приводится в любое положение путем последовательных поворотов на конечные углы: сначала на угол , затем на угол и, наконец, на угол . Эти углы могут быть заданы различным образом и называются эйлеровыми.

Два частных способа выбора эйлеровых углов, применяемых при решении задач корабельной техники, приведены на рис.4.2. Первый из них (рис.4.2.а) удобен в задачах динамики судна, поэтому принятые в нем углы называют так же корабельными. Второй способ удобен для решения тех задач (рис.4.2.б), в которых по крайней мере один из углов монотонно возрастает (задачи небесной механики, механики гироскопов и др.).

На рис.4.2 система осей жестко связана с телом и двигается вместе с ним, а система осей неподвижна, причем обе системы осей совпадают, если все эйлеровы углы равны нулю.

Любое положение тела определяется положением подвижной системы осей относительно неподвижной. При каждом последовательном повороте на углы оси подвижной системы отсчета будут занимать промежуточные положения: после поворота на угол они отмечены двумя штрихами, после поворота на угол - одним штрихом, после поворота на заключительный угол штрихи будут отсутствовать.

В задачах динамики судна обычно начало координат совмещают с центром тяжести судна; за ось принимают продольную ось, направляя ее к носовой оконечности; ось располагают в плоскости, параллельной плоскости ватерлинии, и направляют на левый борт; ось направляют вверх (рис.4.3.а); в начальный момент оси связанной с судном координатной системы совпадают с соответствующими осями неподвижной системы. Для корабельных углов положение подвижной системы отсчета на каждом этапе и положение осей вращения на этих этапах показаны на рис.4.3.б-г.

Первый поворот на угол дифферента происходит вокруг неподвижной оси . При этом ось занимает новое положение ОК и называется линией узлов (см. рис.4.3.б). Следующий поворот на угол крена происходит вокруг линии узлов. При этом очередное промежуточное положение подвижной координатной системы отсчета характеризуется осями со штрихом (см. рис.4.3.в). И, наконец, последний поворот вокруг оси на угол рыскания полностью приводит подвижную систему отсчета в текущее положение.

Ниже для каждого из выполненных поворотов приведена соответствующая матрица ориентации (см. параграф 4.4):

; ;

.

То же правило последовательных поворотов, но относительно иных осей, принято и на рис.4.2.б. Угол прецессии получается вращением тела вокруг неподвижной оси . Угол нутации определяет поворот тела вокруг линии узлов ОК, которая в данном случае совпадает с первым промежуточным положением оси . Угол собственного вращения получается при повороте тела вокруг оси , которая чаще всего совпадает с осью симметрии тела.

В параграфах 4.4, 4.5 показано, что сферическое движение может быть представлено как непрерывная последовательность малых (элементарных) поворотов вокруг перемещающейся в пространстве оси. Эта ось называется мгновенной осью вращения тела. Скорости всех точек мгновенной оси равны нулю. Часто положение этой оси и ее движение очевидны. Так, для изображенного на рис.4.1.в конуса, катящегося без проскальзывания по неподвижной плоскости, мгновенной осью будет линия их соприкосновения; в процессе движения конуса эта ось вращается вокруг вертикальной оси .

Отличительная особенность этого подхода заключается в том, что понятие суммарного угла поворота лишается обычного смысла, так как элементарные повороты происходят вокруг различных положений мгновенной оси.

Вместе с тем, как и в параграфе 3.2.1, можно ввести в рассмотрение вектор угловой скорости, направленный вдоль орта мгновенной оси, т.е.

(4.2)

и вектор углового ускорения

. (4.3)

Первая из компонент вектора отражает изменение модуля вектора ; она обозначается и называется параллельной составляющей углового ускорения, т.к. совпадает с направлением мгновенной оси. Вторая компонента связана с переменностью направления мгновенной оси и, как следствие, орта ; она обозначается и называется перпендикулярной составляющей углового ускорения (т.к. перпендикулярна орту мгновенной оси).

Тогда . (4.4)

Углы Эйлера, угловая скорость и угловое ускорение являются глобальными кинематическими характеристиками сферического движения тела.

ПРИМЕР 4.1. Конус с углом при вершине , изображенный на рис.4.1.в, вращается с угловой скоростью и угловым ускорением вокруг оси .

Найти угловую скорость и угловое ускорение конуса.

РЕШЕНИЕ. В процессе движения угол между собственной осью конуса и вертикальной осью не изменяется (он равен ), поэтому угловая скорость нутации равна нулю. В этом случае угловая скорость конуса равна сумме угловых скоростей прецессии и собственного вращения, т.е.

.

Построив треугольник угловых скоростей по известной стороне и двум известным направлениям (мгновенная ось вращения есть линия контакта конуса и горизонтальной плоскости, а ось собственного вращения конуса составляет с вертикалью угол , т.к. является его осью симметрии), получаем

; .

Параллельная составляющая углового ускорения будет равна , а вторая компонента вектора перпендикулярна векторам и ; при ее определении справедливо соотношение

. Тогда , а модуль углового ускорения .

Вычисленные угловая скорость и составляющие углового ускорения нанесены на рис.4.1.в.

Дата добавления: 2015-07-07