Классификация связей, число степеней свободы

Положения всех точек механической системы относительно выбранной системы отсчета могут быть определены некоторым набором скалярных величин. В случае покоя эти скалярные величины постоянны, а при движении они являются функциями времени. Такие величины называются обобщенными координатами.

Поясним это понятие на системах, в каждой из которых траектории точек расположены в одной плоскости (строго говоря, в этом случае на движение точек наложено ограничение – невозможность движения в направлении, перпендикулярном плоскости; однако для простоты рассуждений и рисунков это ограничение оставим за рамками анализа). В этом случае за обобщенные координаты свободной точки могут быть приняты декартовы координаты за обобщенные координаты системы из двух свободных точек - и т.д.

Для абсолютно твердого тела (например, прямого стержня длиной ) достаточно задаться координатами двух его точек и учесть, что расстояние между ними неизменно, т.е. четыре декартовы координаты точек (рис.В.1.а) связаны соотношением

. (В.1)

Равенства этого типа характеризуют наложенные на систему связи и называются уравнениями связей.

Рассмотрим механическую систему из двух шарнирно соединенных стержней с длинами и . Если принять за обобщенные координаты декартовы координаты концевых точек (рис.В.1.б), следует иметь в виду, что между координатами существует два уравнения связей:

Все перечисленные примеры описывают стационарные связи. В уравнениях таких связей время не содержится в явном виде (хотя неявная зависимость от времени через координаты, конечно, имеется).

Пример системы с нестационарной связью показан на рис.В.1.в.

Это точка А, подвешенная на нити переменной длины, причем закон изменения во времени этой длины задан. Если нить натянута, уравнение связи имеет вид

(В.2)

Кроме того, все оговоренные типы связей аналитически описываются равенствами. Такие связи в механике принято называть удерживающими.

И, наконец, в уравнениях приведенных выше связей нет производных от координат. Такие связи называются голономными.

Существуют, естественно, и другие типы связей – неголономные и неудерживающие. Однако все последующие рассуждения и выводы относятся только к голономным удерживающим связям (стационарность либо нестационарность будет оговариваться особо).

Поскольку для описания голономных связей можно использовать простые геометрические образы (линия, плоскость и т.д.), их иногда называют геометрическими. Если уравнения связей содержат производные, но от них можно избавиться интегрированием, такие связи голономные кинематические.

Наличие уравнений связей означает, что выбранные координаты зависимы. Однако, в принципе, всегда можно, изменив выбор, указать независимые обобщенные координаты, т.е. такие, между которыми не существует уравнений связей.

Так, для системы на рис.В.1.а за одну из возможных совокупностей обобщенных координат можно принять декартовы координаты первой точки и угол между направлением

стержня и осью абсцисс (рис.В.2.а), а для системы на рис.В.1.б - координаты первой точки и углы и между направлениями стержней и осью абсцисс (рис.В.2.б).

Ясно, что при таком выборе обобщенных координат однозначно определены положения всех точек каждой из рассматриваемых механических систем.

Важной количественной характеристикой общих структурных свойств механической системы служит число независимых обобщенных координат, полностью определяющих положение (движение) механической системы – число степеней свободы. Если за обобщенные координаты выбраны такие, что между ними существуют уравнения связей, то число степеней свободы можно найти как разность числа этих координат и числа уравнений связей.

Так, если на механическую систему из точек в трехмерном пространстве наложено геометрических связей, то число степеней свободы для системы может быть рассчитано как . Если движение точек системы рассматривать в плоскости, как это делалось выше, то в формуле множитель 3 надо заменить на 2.

Таким образом, система, показанная на рис.В.1.а и В.2.а имеет три степени свободы, на рис.В.1.б и В.2.б – четыре степени свободы, а на рис.В.1.в – одну. Для любой плоской неизменяемой системы точек, движущихся в плоскости этой системы (например, рис.В.3), в качестве обобщенных координат можно принять две декартовы координаты какой-либо произвольно выбранной точки А системы и угол, который составляет с осью абсцисс отрезок АВ, жестко связанный с рассматриваемой неизменяемой системой (выбор такого отрезка также произвольный).

Следовательно, число степеней свободы этой системы равно трем.

На рис.В.4 показаны некоторые типичные системы с геометрическими связями. Во всех случаях имеется в виду движение в плоскости рисунка, а каждый абсолютно жесткий стержень, как указано выше, имеет три степени свободы.

Система, показанная на рис.В.4.а, имеет четыре степени свободы: три обобщенные координаты определяют положение стержня и еще одна определяет положение втулки относительно стержня.

Система двух шарнирно соединенных стержней (рис.В.4.б) имеет четыре степени свободы: три обобщенные координаты одного из стержней и одну, определяющую положение второго стержня относительно первого. Поскольку два стержня при отсутствии связи между ними имели бы шесть степеней свободы, шарнир, связывающий стержни, накладывает на систему две связи.

Система двух стержней и втулки (рис.В.4.в) имеет пять степеней свободы, на одну степень свободы больше, чем система, изображенная на рис. В.4.а. Следовательно, показанное здесь соединение двух стержней накладывает на систему одну связь.

Разумеется, на число степеней свободы влияют не только внутренние, но и внешние связи. Так, после наложения на свободный стержень связи в виде шарнирно-подвижной опоры (рис.В.4.г), он имеет две степени свободы (за обобщенные координаты можно принять, например, координату и угол наклона ). Вариант изображения той же связи показан на рис.В.4.д. Если полностью закреплена одна из точек стержня (шарнирно-неподвижная опора на рис.В.4.е), то он обладает всего одной степенью свободы. Таким образом, шарнирно-подвижная опора накладывает на систему одну связь, а шарнирно-неподвижная – две связи.

Для определения положения точки в пространстве в качестве обобщенных координат можно принять три декартовы координаты - такая точка имеет три степени свободы. Положение неизменяемой системы точек (твердого тела) полностью определяется положением трех точек А, В и С (рис.В.5), не лежащих на одной прямой.

Поскольку расстояние между точками не изменяется, для девяти их координат должны выполняться три уравнения связи:

Таким образом, остается лишь шесть независимых координат, т.е. свободное твердое тело в пространстве имеет шесть степеней свободы.

ПРИМЕР. Кривошипно-шатунный механизм (рис.В.6) состоит из трех звеньев: кривошипа АВ, шатуна ВС и ползуна С. Определить число степеней свободы системы.

РЕШЕНИЕ. Если бы каждое из этих звеньев было свободным телом, то в совокупности они имели бы 3x3=9 степеней свободы. На эту систему наложены:

а) внутренние связи в виде двух шарниров в точках В и С, каждый из которых отнимает по две степени свободы;

б) внешние связи – неподвижный шарнир в точке А (отнимает две степени свободы) и направляющая ползуна (отнимает две степени свободы). Общее число степеней свободы равно 9-2-2-2-2=1, т.е. механизм имеет одну степень свободы.

ПРИМЕЧАНИЕ: Существует иная схема рассуждений, позволяющая определить число степеней свободы механической системы. На первом этапе определяется число независимых обобщенных координат, задающих положение какого-либо элемента механической системы (обычно выбирается крайний элемент). Эти координаты мысленно фиксируются. Если элементы, сопрягающиеся с выбранным, могут совершать по отношению к нему движение, вводятся соответствующие независимые обобщенные координаты. И так далее. Число введенных независимых обобщенных координат и есть число степеней свободы механической системы.

Поясним сказанное на примере кривошипно-шатунного механизма (рис.В.6). Проанализируем движение кривошипа ОА. Он может поворачиваться в плоскости рисунка, т.е. для задания его положения на плоскости необходимо ввести одну обобщенную независимую координату – угол поворота вокруг точки О (точнее, вокруг оси, проходящей через точку О и перпендикулярную плоскости рисунка). Если зафиксировать этот угол, то, в силу абсолютной твердости стержней ОА и АВ, механизм остановится (ни одно звено не может осуществлять движение при неподвижности точки А). В рассмотренном примере для остановки всех элементов кривошипно-шатунного механизма потребовалось ввести и зафиксировать только одну обобщенную координату, т.е. число степеней свободы оказалось равным единице. Результат согласуется с расчетом, выполненным выше.

1. Кинематика свободной точки

Дата добавления: 2015-07-07