Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Глобальные кинематические характеристики

Читайте также:
  1. IV. Глобальные проблемы современности.
  2. Авторский текст как предмет работы редактора. Основные характеристики текста.
  3. Виды движения точки в зависимости от ускорения. Кинематические графики
  4. ВИДЫ ЗАГОТОВОК И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
  5. Влияние ППД на характеристики усталостной прочности
  6. Влияние характеристики цикла r на прочность при переменных нагрузках
  7. Внешняя среда организации и ее характеристики

Тело, закрепленное в двух точках, обладает одной степенью свободы, выраженной в способности вращаться вокруг прямой, проходящей через точки закрепления и называемой неподвижной осью вращения. В некоторых случаях ось вращения может оказаться за пределами тела, например, при движении судна на циркуляции постоянного радиуса. Движение тела называется вращательным, если мысленно скрепленное с ним пространство имеет неподвижную ось вращения. В системах отсчета, связанных с опорами, указанное движение совершают, например, гребные винты, роторы турбин, маховики и пр.

Положение тела при вращении вокруг неподвижной оси определяется одной обобщенной глобальной координатой – двугранным углом между содержащими ось вращения плоскостями, одна из которых неподвижна ( ), а другая жестко связана с телом (плоскость на рис.3.2).

Соответствующий двугранному линейный угол называют углом поворота, а зависимость - уравнением вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. В правой координатной системе угол поворота считается положительным, если при взгляде навстречу оси наблюдается вращение твердого тела против хода часовой стрелки.

 

Пользуясь изменением угла поворота за время , вводят понятие угловой скорости тела в данный момент времени:

. (3.3)

При >0 тело вращается в направлении возрастания угла поворота, а при <0 – в противоположном направлении. Для наших целей полезно ввести понятие вектора угловой скорости , направленного вдоль оси вращения в ту сторону, откуда это вращение видно происходящим против хода часовой стрелки (рис.3.2). Единица измерения угловой скорости – радиан в секунду .

Производная по времени от угловой скорости называется угловым ускорением:

. (3.4)

 

За единицу углового ускорения принимают радиан в секунду за секунду .

По аналогии с вектором угловой скорости вводят понятие вектора углового ускорения , направленного вдоль оси вращения так, что при ускоренном вращении направление вектора совпадает с направлением вектора (см. рис.3.2), а при замедленном вращении эти векторы направлены противоположно.

В частном случае равнопеременного ( ) вращения аналитические зависимости между глобальными кинематическими характеристиками выглядят проще:

где и - начальный угол поворота тела и начальная угловая скорость, соответственно.

Часто в технике равномерное вращение ( ) характеризуют частотой вращения - числом оборотов , совершаемых телом за одну минуту вращения ( ).

Для определения скорости и ускорения точки (локальные кинематические характеристики) тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, представим радиус-вектор точки М в подвижном базисе (орты поворачиваются вокруг неподвижного орта ) в виде

где - постоянные координаты выбранной точки тела в подвижном базисе.



 

 

По определению скорость точки М будет равна

. (3.5.а)

При дифференцировании было учтено, во-первых, постоянство координат точки и орта в выбранном базисе и, во- вторых, формулы (1.12) для вычисления производных единичных ортов при их вращении вокруг неподвижной оси с угловой скоростью .

Заметим, что полученное выражение может быть представлено как результат векторного произведения

. (3.5.б)

Оба выражения для скорости точки M дают один и тот же результат, так как при вращении вокруг неподвижной оси z .

Окончательно для проекций вектора скорости точки М на оси подвижной координатной системы и его величины имеем:

. (3.6.а)

здесь - кратчайшее расстояние от точки М до оси вращения (см. рис.3.3).

Вычисление модуля векторного произведения дает этот же результат:

. (3.6.б)

Для получения ускорения точки М продифференцируем по времени выражение (3.5.б):

. (3.7)

Первое слагаемое в (3.7) называют вращательным ускорением, а второе – осестремительным. Модули этих составляющих и модуль ускорения точки определяются выражениями

Загрузка...

. (3.8)

На рис.3.3 изображены скорость и составляющие ускорения точки М при ускоренном вращении тела.

 

ПРИМЕР 3.1. Антенна радиолокатора, шарнирно укрепленная на мачте судна, начинает вращаться в горизонтальной плоскости (вид сверху изображен на рис.3.4). При этом угол между осью луча антенны и диаметральной плоскостью судна нарастает по закону . Найти угловую скорость и угловое ускорение антенны, а так же скорость и ускорение ее точки А для трех моментов времени: . Линейные размеры антенны указаны на рисунке.

 

 

РЕШЕНИЕ. Получим выражения для глобальных кинематических характеристик антенны:

;

;

.

Мгновенные значения этих величин для трех моментов времени сведем в таблицу 3.1.

В формулах (3.6) и (3.8) для определения скоростей и ускорений точки А, а так же ее осестремительных и вращательных составляющих, расстояние от точки А до оси вращения будет

Результаты вычислений так же занесем в таблицу.

 

0,18
0,32 0,50
0,50 0/18
0,26
0,08 0,20
0,41 0,15
0,41 0,17 0,20

 

Из полученных данных следует, что антенна начинает разгоняться с довольно большим угловым ускорением, которое впоследствии уменьшается. Вскоре (хотя формально при ) антенна выходит на режим установившегося вращения. Начальное ускорение точки А состоит только из вращательной составляющей (рис.3.5.а).

Скорость и ускорение точки А, а так же его составляющие, имеющие место на этапе разгона ( ), изображены на рис.3.5.б.

Скорость и ускорение на заключительном этапе движения изображены на рис.3.5.в.

 

 

 

 


Дата добавления: 2015-07-07; просмотров: 223 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Введение | Классификация связей, число степеней свободы | Векторное описание. Скорость и ускорение | А. Декартова координатная система | Б. Полярная и цилиндрическая координатные системы | Кинематика несвободной точки (движение по заданной траектории) | Описание (задание) движения | Глобальные кинематические характеристики | Основные соотношения между локальными и глобальными кинематическими характеристиками | Локальные кинематические характеристики |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Поступательное движение твердого тела| Кинематика простейших передач

mybiblioteka.su - 2015-2021 год. (0.011 сек.)