Принцип максимума

Это метод расчета оптимальных процессов и систем, который выражает необходимое условие оптимальности. Рассмотрим уп­рощенный вывод принципа максимума.

Задано уравнение управляемого объекта в векторно-матричной форме

где .

Ограничение наложено на скалярное управляющее воздей­ствие .

Задан минимизируемый функционал:

.

Необходимо найти оптимальные управление и траекто­рию . Порядок решения поставленной задачи следующий.

1. Вводим дополнительную переменную состояния

,

конечное значение которой , т.е. равно критерию оптимальности. Эта переменная вместе с другими характеризует объект управления и образует обобщенный вектор состояния

.

Дифференцируя по t выражение для новой переменной найдем уравнение в нормальной форме . Добавив это уравнение в систему заданных уравнений объекта управления, полу­чим систему обобщенных уравнений:

, (17)

где .

2. Производим игольчатую вариацию управляющего воздей­ствия относительно искомого оптимального закона его изменения (рис. 12), при которой это воздействие скачком изменяется до предельного значения и затем обратно в течение бесконечно ма­лого отрезка времени .

Рис. 12

Площадь игольчатой вариации бесконечно мала, поэтому она вызывает бесконечно малые отклонения (вариации) переменных состояния:

,

где .

В частности, вариация

, (18)

так как система оптимальна по минимуму критерия оптимальности.

3. Выразим вариацию траектории в момент времени как про­изведение ее скорости на длительность вариации, т. е.

.

В последнем равенстве заменим скорости на соответствующие функции, взятые из (17):

. (19)

4. Определим вариацию критерия оптимальности в момент по формуле скалярного произведения:

, (20)

где - вспомогательная вектор-функция, подлежащая опре­делению и имеющая смысл градиента изменения критерия опти­мальности при изменении переменных состояния.

5. Подставляем (19) в (20) и с учетом знака вариации получим неравенство для :

. (21)

6. Обозначаем функцию Гамильтона (гамильтониан)

. (22)

Сравнение (22) и (21) позволяет сформулировать принцип максимума.

Для оптимального управления объектом необходимо, чтобы гамильтониан Н имел максимальное (наибольшее) значение в любой момент процесса управления.

Если оптимальное управление находится внутри допустимой области, то гамильтониан Н достигает максимума. Если же уп­равление меняется по границам этой области, то Н достига­ет своего наибольшего значения (супремума).

7. Для нахождения вспомогательных функций получены сле­дующие уравнения:

. (23)

Для функций в соответствии с (20) и (18) получаются следующие граничные условия:

.

Так как гамильтониан Н от х₀не зависит, то из (23) имеем , следовательно, .

1.10. Порядок практического применения принципа максимума

1. Располагая заданным функционалом и уравнениями объек­та, составляем гамильтониан Н по формуле (22). Причем, если подынтегральная функция f ₀ от управления и не зависит, то со­ответствующее слагаемое можно в гамильтониан не включать, так как это не повлияет на решение задачи. Это справедливо, в частности, для критерия максимального быстродействия, когда f ₀=1.

2. Исследуем гамильтониан Н на максимум по управлению и, т. е. решаем уравнение .

Отсюда находим в общем виде оптимальное управление через переменные и . Если это уравнение приводит к нулевым зна­чениям хотя бы для одной функции ; (тривиальное решение), то это считается неприемлемым и означает, что оптимальное управ­ление изменяется по границам допустимой области. Соответствен­но гамильтониан Н имеет не максимум, а наибольшее значение (супремум). В этом случае оптимальный закон управления нахо­дится из выражения для Н в классе знаковых функций с учетом ограничений на управление.

3. Найденный оптимальный алгоритм управления подставля­ют в уравнения (16) и (23), и они решаются совместно. При этом решении возникают сложности с определением постоянных интегрирования, удовлетворяющих граничным условиям. Поэто­му обычно ограничиваются решением качественного характера, при котором определяется лишь характер изменения оптимально­го управления. Дальнейшее применение метода припасовывания позволяет получить точное решение количественного характера.

Лекция 6.

1.12. Синтез оптимального по быстродействию регулятора для линейного стационарного объекта второго порядка

Этот синтез производится с использованием метода припасовывания в фазовом пространстве и теоремы об п интервалах. Объект управления задан своим дифференциальным уравнением

(24)

где .

Требуется определить алгоритм оптимального управления при произвольных краевых условиях.

Порядок синтеза следующий:

1. В качестве переменных состояния целесообразно выбрать ошибку управления х₁ и ее первую производную х₂ по времени

так как на фазовой плоскости этих переменных изображающая точка в конце оптимального переходного процесса приходит в начало координат.

Учитывая эти равенства и заданное уравнение объекта управления, запишем систему уравнений последнего в нормальной форме:

(25)

2. Определяем допустимое задающее воздействие g (t) в неко-
тором классе функций, например, в классе полиномиальных

(26)

Допустимым называется такое задающее воздействие которое управляемая величина y(t) может «догнать» при заданном
ограничении на управление.

Определим, какие значения коэффициентов A ₀, A ₁ и A ₂ допус-
тимы при заданном ограничении. Исходим из требования, что в
конце переходного процесса ошибка и ее производные первого и
второго порядка должны равняться 0:

(27)

Решим эту задачу применительно к двигателю постоянного
тока как объекту регулирования угла поворота вала. Исходное
уравнение (24) и уравнения (25) примут вид:

;

. (28)

Требование (27) с учетом (26) и (28) можно записать в виде:

Так как функция A ₂ t растет неограниченно, а управление и ограничено значением U_m, то это равенство может быть выполне­но при

Для объектов управления с разным порядком астатизма V тре­бования к коэффициентам А₀, А₁ и А₂сведены в табл. 2.

Таблица 2

Порядок V	A0	A1	А2
	Любое
	Любое	Любое

3. Находим дифференциальное уравнение фазовых траекторий объекта управления, решаем его и строим два семейства фазовых траекторий при .

Уравнение фазовой траектории объекта при оптимальном уп­равлении имеет общий вид

(29)

где для объекта в виде двигателя постоянного тока.

Постоянная интегрирования х ₁₀ имеет смысл координаты точ­ки пересечения фазовой траектории с осью х₁, так как функция f равна 0 при х₂ = 0. По найденному уравнению можно построить два семейства фазовых траекторий (рис.14).

Рис. 14

4. Строим фазовый портрет оптимальной по быстродействию системы, используя теорему об п интервалах и метод припасовывания. Так как изображающая точка в конце переходного процес­са должна приходить в начало координат, то второй интервал оптимального процесса должен совершаться по отрезкам нулевых полутраекторий АО или ВО.

Первый интервал того же процесса должен совершаться по по­лутраекториям семейства , оканчивающимся на АО, либо по полутраекториям , оканчивающимся на ВО (рис.15).

5. Используя построенный фазовый портрет, синтезируем ал­горитм оптимального по быстродействию регулятора.

Рис.15

Из фазового портрета видно, что оптимальный регулятор яв­ляется релейным двухпозиционным, и его линия переключения (ЛП) - это АОВ. Найдем ее уравнение. Для этого нужно учесть, во-первых, общее уравнение фазовых траекторий (29), во-вторых, прохождение линии АОВ через начало координат, т. е. х ₁₀ = О, в-третьих, то, что на линии АОВ управление u совпадает по зна­ку с переменной х₂, т. е. . Перенеся все члены урав­нения (29) в одну часть, запишем уравнение ЛП

,

где . (30)

Функция является функцией переключения регуля­тора, так как она совпадает по знаку с оптимальным управлени­ем на всей фазовой плоскости, кроме линии АОВ (рис.15).

Итак, алгоритм работы оптимального регулятора на первом интервале управления

(31)

Заметим, что равенства (30) и (31) определяют алгоритм работы оптимального регулятора приближенно, т. е. в квазиоп­тимальном режиме. Приближенность состоит в том, что второй интервал процесса при таком алгоритме управления будет совер­шаться не по отрезкам АО и ВО, а по бесконечно близким отрез­кам фазовых траекторий, получающимся после пересечения ЛП изображающей точкой.

В соответствии с выражениями (30) и (31) построим струк­турную схему оптимальной по быстродействию системы автома­тического управления объектом с астатизмом первого порядка (рис.16).

Рис.16

1.13. Оптимальные по быстродействию процессы

при ограничениях на управление
и одну из производных регулируемой величины

Рассмотрим в общем виде оптимальный по быстродействию процесс управления объектом п-го порядка с уравнением

при двух ограничениях:

.

Анализ оптимального процесса показывает, что он состоит из нескольких участков:

1) участок перевода ограниченной координаты от заданно­го начального значения к одному из предельно допус­тимых значений ;

2) участок стабилизации этой координаты на достигнутом пре­дельно допустимом значении;

3) участок перевода ограниченной координаты от предельного допустимого значения одного знака до предельно допусти­мого значения противоположного знака и т. д.;

2 к + 1) участок перевода от одного из предельно допусти­мых значений до конечного значения .

Всего в процессе имеется k участков стабилизации и k + 1 учас­ток перевода. Причем каждый участок перевода математически описывается уравнением, получаемым из уравнения объекта, если выходом считать не величину у, а ее k -ю производную y ^(k). При этом порядок уравнения понижается и становится равным n-k. Если соответствующее характеристическое уравнение удовлетворяет теореме об n интерва­лах, то в соответствии с этой теоремой на каждом участке пере­вода имеем n-k интервалов с постоянными управляющими воз­действиями на уровнях .

Каждый участок стабилизации описывается заданным уравне­нием объекта, в котором производная k- го порядка постоянна. Поэтому производные высшего порядка от k +1 до n равны 0. В результате интегрирования можно найти младшие производные и выходную величину объекта управления. Затем из уравнения объекта можно найти управляющее воздействие на участке ста­билизации как функцию времени. Этот закон изменения управ­ления будет непрерывным и может быть обеспечен либо в разомкнутой системе заданием программы, либо в замкнутой си­стеме за счет нелинейной отрицательной обратной связи по про­изводной y^(k) которая называется отсечкой. Такая отрицательная обратная связь не проявляет себя, пока не достигнуто ограниче­ние, и имеет бесконечно большой коэффициент усиления в обрат­ном случае.

Лекция 7.

Дата добавления: 2015-07-08