Балка на упругом основании

Если балка лежит на упругом основании, то последнее оказывает на балку реактивное давление (гипотеза Винклера), где - коэффи­циент упругости основания (коэффициент постели). Добавляя в правую часть уравнения нагрузку , получим дифференциальное урав­нение изогнутой оси балки на упругом основании:

(45)

Введем обозначение:

Тогда уравнение (45) принимает вид:

(46)

Его общим решением будет:

(47)

где - частное решение неоднородного уравнения (45).

Так как:

то общее решение (27) можно записать в ином виде:

Академик А. Н. Крылов ввел функции:

обладающие свойством:

Они образуют систему частных решений уравнения с единичной матрицей, представляемой в виде табл. 6.1.

Общее решение уравнения (45) можно записать через функции Кры­лова в виде

где

Таблица 6.1.

	Y(0)	Y’(0)	Y’’(0)	Y’’’(0)
Y 1
Y 2
Y 3
Y 4

Рассмотрим балку полубесконечной протяженности (рис. 6.52).

Рис. 6.52

На краю балки при действуют сосредоточенные сила Р и момент . Следовательно, на край балки при z = 0 имеем перерезывающую силу и изгибающий момент . Если балка весьма длинная, то при больших z (теоретически ) прогибы должны быть весьма малыми (теоретически ). Поэтому, согласно (47), . Так как распределенная нагрузка , то частное решение .

Следовательно, общее решение рассматриваемой частной задачи имеет вид:

(48)

Вычислим производные:

Зная их, можно вычислить изгибающий момент и перерезывающую силу:

(49)

Постоянные определяем из граничных условий при :

откуда с учетом (48), (49) получаем:

Для прогиба (48) получаем выражение:

(50)

Максимальный прогиб находим из (49) при :

Пусть на краю балки при момент а перерезывающая сила тогда:

Как видно, прогиб , момент , сила по мере удаления от края балки периодически уменьшаются по экспоненциальному закону. Эта особенность быстрого затухания , , по мере удаления от края балки называется краевым эффектом (см. рис. 6.52).

Дата добавления: 2015-07-10