Пределы применимости приближенной теории из­гиба балок

При выводе дифференциального уравнения изогнутой оси балки (28) выражение для кривизны балки было выбрано приближенно. Выясним степень точности приближенного уравнения (27). Для этого рассмотрим задачу о чистом изгибе консольной балки (рис. 6.43).

Рис. 6.43

В этом случае и поэтому Из рис. 6.43 прогиб на конце консоли:

Разложим косинус в ряд и ограничимся тремя первыми элементами:

Выражение для прогиба f принимает вид:

или с учетом и (7):

(36)

Дадим теперь приближенное решение задачи. Интегрируя уравнение

при получаем:

Так как при прогиб , угол поворота , то

При на конце консоли прогиб:

(37)

Сравнивая решения (36), (37), находим:

Удовлетворимся при определении прогибов по приближенной теории точ­ностью в 3%. Полагая

получаем:

Таким образом, приближенное дифференциальное уравнение (27) изо­гнутой оси упругой балки дает достаточную точность решения задачи даже в том случае, когда прогиб составляет 30% от длины стержня. Та­кие прогибы возможны только у очень гибких балок большой длины или очень малой толщины типа гибкой стальной линейки.

Дата добавления: 2015-07-10