Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки методом начальных пара­метров А. Н. Крылова

Рассмотрим балку, нагруженную силами и моментами (рис. 6.44). Силы , считаем положительными, если они направлены в положительном направлении координатной оси у, т.е. вниз. Момент считаем положительным, если он вращает сечение балки против часовой стрелки, когда мы смотрим на него с конца положительной оси , ортогональной к плоскости . В этом случае прогибы любой точки оси стержня с координатой z направлены вниз по оси у.

Рис. 6.44

Балку по длине можно разбить на несколько участков, на которых аналитические выражения изгибающих моментов будут различны.

Границей этих участков являются те сечения, над которыми к балке приложены сосредоточенные силы Р, момент m либо меняется характер нагружения так, как в сечении , с которого начинается действие распределенной нагрузки .

Интегрируем дважды дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (27):

В результате получаем:

(38)

где - прогиб и угол поворота сечения в начале координат при , называемые начальными параметрами задачи по определению перемещений. Вычислим в (38) интеграл:

при одновременном действии считая жесткость при изгибе постоянной величиной. Для этого найдем аналитические выражения момента для двух сечений от каждого внешнего силового воздействия. Пусть первое сечение z лежит левее рассматриваемой внешней силы или момента, а второе - правее. Тогда получаем (см. рис. 6.44):

Полагая последовательно при почленном интегрировании , получаем:

Интегрируя полученное выражение еще раз, найдем:

Подставляя полученные выражения интегралов в (38), получим фор­мулы:

(39)

(40)

называемые универсальными для угла поворота сечения и прогиба точки оси балки.

Если распределенная нагрузка не является постоянной, то ее можно разложить в ряд Тейлора в окрестности значения :

где - факториал числа .

В этом случае после интегрирования (38) получаем:

(41)

При наличии в балке внутреннего шарнира К в сечении первая производная от прогиба по претерпевает в этом случае скачок на величину (рис. 6.45) так, что:

(42)

Рис. 6.45

Интегрируя, получаем:

(43)

Обобщенные силы , , в (41), (43) повторяются столько раз, сколько они рассматриваются в рассматриваемой задаче. Если распреде­ленная нагрузка не доходит до рассматриваемого сечения с координатой , то ее следует продолжить до этого сечения и добавить точно такую же, но противоположного знака (см. рис. 6.44).

Примечание:

Начало отсчета координаты z необходимо брать только на левом конце балки.

Порядок расчета по методу начальных параметров:

Чтобы определить перемещения методом начальных параметров надо:

1. Определить опорные реакции.

2. Выбрать начало отсчета.

3. Определить начальные параметры из условий закрепления.

4. Подсчитать перемещения линейные или угловые, пользуясь формулами методов начальных параметров.

Дата добавления: 2015-07-10