Простейшие статически неопределимые задачи при изгибе. Метод сравнения (наложения) пере­мещений

Рассмотрим простейшую один раз статически неопределимую балку (рис. 6.46).

Рис. 6.46

Прогиб балки над опорой С равен нулю и его можно, в силу принципа независимости действия сил, представить как сумму перемещений от рас­пределенной нагрузки и сосредоточенной силы :

Используя известные решения, имеем:

Следовательно,

откуда

Из уравнений равновесия:

находим опорные реакции

В поперечном сечении

Рис. 6.47

Экстремальный момент возникает в сечении с координатой , которая находится из условия:

откуда Максимальный момент

Он меньше, чем момент над средним сечением при :

На рис. 6.47 построены эпюры .

Расчет на прочность простейших статически неопределимых балок методом допускаемых нагрузок

Рассмотрим простейшую статически неопределимую балку (рис. 6.48, а).

Рис. 6.48

Расчет на прочность по допускаемым напряжениям состоит в том, чтобы найти и потребовать . Для этого сначала необходимо раскрыть статическую неопределимость задачи. На рис. 6.48, б изображена эквивалентная балка, в которой момент m должен быть подобран так, чтобы угол поворота в опоре А обращался в нуль как и в исходной схеме балки (рис. 6.48, а).

Вычислим угол поворота в опоре А:

откуда находим:

Максимальный момент возникает в защемлении (рис. 6.48, в):

Таким образом, условие прочности по допускаемым напряжениям (или расчетному сопротивлению) дает:

откуда

Предельная нагрузка упругого состояния, при которой впервые в бал­ке возникает пластическая деформация, равна:

Первый пластический шарнир образуется в защемлении. В этом пластическом шарнире . Однако балка будет испытывать стеснённую пластическую деформацию, пока в середине пролета под силой Р момент также не будет равным и балка превратится в механизм (рис. 6.48, г). Для предельного состояния имеем уравнения равновесия:

откуда следует

Допускаемое значение внешней нагрузки:

Сравнивая и либо и получим, что их отношение:

Статическая неопределимость задачи повышает допустимую нагруз­ку на 12,5%. Для балки прямоугольного сечения . В случае прямоугольника Для данной задачи обнаружива­ется резерв прочности в 69% по сравнению с расчетом по допускаемым напряжениям.

В рассматриваемом примере пластические шарниры образуются в за- щемлении и в сечении под сосредоточенной силой. В случае распределен­ной нагрузки указать сразу сечения, где возникнут пластические шар­ниры, не всегда удается. Рассмотрим простейшую двухпролетную стати­чески неопределимую балку (рис. 6.49). Выше эта задача была реше­на для случая упругого поведения балки и построена эпюра моментов (рис. 6.47).

Рис. 6.49

Момент в среднем сечении, при котором в крайних во­локнах возникают пластические деформации:

откуда соответствующая предельная нагрузка равна:

Рассмотрим предельное состояние балки. Первый пластический шарнир образуется над средней опорой. Два других - в сечениях, строго говоря, не совпадающих с сечениями, где действуют максимальные моменты. Обозначим расстояние от левой опоры до первого шарнира в пролете через . Тогда уравнение равновесия балки левее первого и второго шарниров будет иметь вид:

откуда после исключения следует:

Разрушающая предельная нагрузка оказывается зависящей от величиины , т.е. местоположения пластического шарнира в пролете. Дифференцируя данное выражение для по и приравнивая производную нулю, получим:

откуда

Так как , то перед радикалом следует сохранить знак плюс. Тогда В результате получим:

Сравнивая выражения для и , находим:

Следовательно, в данной задаче статическая неопределимость повышает допустимую нагрузку на 45,7%. Если балка имеет прямоугольное сечение, то . Поэтому в данной задаче полное увеличение допускаемой нагрузки составляет т.е. 118,6%. Если заменить в каждом из пролетов распределенную нагрузку q их равнодействующими приложенными в их середине, т.е. при , то получим:

Величина

что отличается от точного решения всего на 2,94%. Для прямоугольного сечения получаем k = 2,25 вместо 2,186.

Дата добавления: 2015-07-10