Равномерное и показательное распределения непрерывной случайной величины.

Распределение вероятностей СВ Х называется равномерным на отрезке [a, b], если плотность вероятностей этой величины постоянна на данном отрезке и равна нулю вне этого отрезка:

С равномерным распределением встречаются всякий раз, когда по условиям опыта величина Х принимает значение в конечном промежутке [a, b]. Все значения из этого промежутка возможны в одинаковой степени, причем ни одно из значений не имеет преимущество перед другими. Вот примеры такого рода: 1) Х – время ожидания на стоянке автобуса (величина Х равномерно распределена на отрезке [0, e], где е – интервал движения между автобусами); 2) Х – ошибка при взвешивании случайно выбранного предмета, получающаяся от округления результата взвешивания до ближайшего целого числа (величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [-0,5; 0,5], где за единицу принята цена деления шкалы).

Нетрудно показать, что для равномерно распределенной на отрезке [a,b] случайной величины Х функции плотности вероятностей и функция распределения имеют вид:

Вероятность попадания значений случайной величины Х в интервал [a’,b’], принадлежащий отрезку [a,b], определяется равенством .

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины соответственно равны .

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью вероятностей

где – постоянная положительная величина.

Показательный закон распределения вероятностей встречается во многих задачах, связанных с простейшим потоком событий. Под потоком событий понимают последовательность событий, наступающих одно за другим в случайные моменты. Например, поток вызовов на телефонной станции, поток заявок в системе массового обслуживания и др.

Функция распределения показательного закона имеет вид

Вероятность попадания в интервал (a,b) непрерывной случайной величины Х, которая распределена по показательному закону, равна

Нетрудно вычислить числовые хар-ки показательного распределения:

9. Нормальное распределение: формулы плотности и ф-и распределения, числовые хар-ки, условия применимости. Правило трёх сигм.

Нормальным распределением, или распределением Гаусса, называется распределение с плотностью вероятностей (*)

Постоянные a и наз. параметрами распределения. О случайной величине Х, плотность распределения которой определяется функцией (*), говорят, что она распределена нормально с параметрами а и σ и кратко называют ее нормальной. График функции (*) называют нормальной кривой. На рис. 1 изображена нормальная кривая при a =3 и σ=1.

Вероятность попадания значений нормальной СВ Х в интервал ( определяется формулой где Ф(х)-ф-я Лапласа:

Рис. 1

С помощью функции Лапласа определяется и вероятность отклонения нормальной СВ, или вероятность неравенства , где –математическое ожидание нормально распределенной величины Х: или

где Если t=3, т.е. то или (**)

(Значение Ф(3) найдено с помощью таблицы значений функции Лапласа).

Последнее равенство означает, что событие, состоящее в осуществлении неравенства , имеет вероятность, близкую к единице, т. е. является почти достоверным.

Формула (**) выражает правило «трех сигм»: если случайная величина распределена по нормальному закону, то модуль ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

В случае ф-я (*) имеет вид

Рис. 2

Распределение вероятностей непрерывной СВ, определяемое этой функцией, называется нормированным, или стандартным. График функции f(x) называется нормированной кривой. На рис.2 изображена нормированная кривая. Математическое ожидание непрерывной СВ Х, распределенной по нормальному закону, равно параметру а, дисперсия равна квадрату параметра , т. е. . Значит, параметр является средним квадратическим отклонением нормальной СВ.

Дата добавления: 2015-07-10