Всегда смотрим и записываем, является ли подынтегральная функция непрерывной на интервале интегрирования.

Пример 2

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

.

Выполним чертеж:

Во-первых, замечаем следующее: подынтегральная функция

непрерывна на интервале . Хорошо. Решаем с помощью формулы

:

.

(1) Берем простейший интеграл от степенной функции (этот частный случай есть во многих таблицах). Минус лучше сразу вынести за знак предела, чтобы он не путался под ногами в дальнейших вычислениях.

(2) Подставляем верхний и нижний пределы по формуле Ньютона-Лейбница.

(3) Указываем, что , если (это нужно понимать) и упрощаем ответ.

Вот здесь площадь бесконечной криволинейной трапеции равна конечному числу! Невероятно, но факт.

Чистовое оформление примера должно выглядеть примерно так:

Подынтегральная функция непрерывна на полубесконечном интервале

.

Пример 3

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

.

Подынтегральная функция непрерывна на полубесконечном интервале .

Интеграл не так прост, особенно для чайника. Что делать, если интеграл кажется не самым простым или не сразу понятно как его решать? В этом случае целесообразно применить алгоритм, о котором было рассказано в статье Определенный интеграл. Примеры решений. Сначала попытаемся найти первообразную функцию F (X) или неопределенный интеграл. Если нам не удастся этого сделать, то несобственный интеграл мы, естественно, тоже не решим.

.

На какой из табличных интегралов похожа подынтегральная функция? Напоминает она арктангенс:

.

Из этих соображений напрашивается мысль, что неплохо бы в знаменателе получить квадрат. Делается это путем замены.

Проведем замену , тогда:

.

Неопределенный интеграл найден, константу C в этом случае добавлять не имеет смысла.

На черновике всегда полезно выполнить проверку, то есть продифференцировать полученный результат:

.

Получена исходная подынтегральная функция, значит, неопределенный интеграл найден правильно.

Теперь находим несобственный интеграл:

(1) Записываем решение в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов.

.

Константу лучше сразу вынести за знак предела, чтобы она не мешалась в дальнейших вычислениях.

(2) Подставляем верхний и нижний пределы в соответствии с формулой.

Почему при ? Смотрите график арктангенса.

(3) Получаем окончательный ответ. Тот факт, что arctg (0) = 0, полезно знать наизусть.

Продвинутые студенты могут не находить отдельно неопределенный интеграл, и не использовать метод замены, а использовать метод подведения функции под знак дифференциала и решать несобственный интеграл «сразу». В этом случае решение должно выглядеть примерно так:

Подынтегральная функция непрерывна на интервале .

.

А сейчас два примера для самостоятельного решения.

Пример 4

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

ВНИМАНИЕ! Это типовой пример, и похожие интегралы встречаются очень часто. Хорошо его проработайте! Первообразная функция здесь находится методом выделения полного квадрата, более подробно с методом можно ознакомиться на уроке Интегрирование некоторых дробей.

Пример 5

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

.

Этот интеграл можно решить подробно, то есть сначала найти неопределенный интеграл, проведя замену переменной. А можно решить «сразу» – подведением функции под знак дифференциала. Всё зависит от подготовки. Полные решения и ответы в конце урока.

Примеры решений несобственных интегралов с бесконечным нижним пределом интегрирования можно посмотреть на странице Эффективные методы решения определённых и несобственных интегралов. Там же разобран случай, когда оба предела интегрирования бесконечны.

Дата добавления: 2015-07-08