Теоремы сложения и умножения вер-й. Формула полной вер-ти. Ф-ла Байеса.

Сложение: Если события , , …, Аn попарно несовместные, то вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей, т. е.

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Сумма вероятностей событий , , …, An, образующих полную группу событий, равна единице:

;

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: .

Умножение: Событие, сост. в том, что произошло событие В, когда известно, что произошло событие А обозначим В/А.

Соответствующая вер-ть P(B/A), наз. условной вероятностью события В при условии, что событие А произошло.

Можно показать, что для вер-ти произведения 2-х событий справедлива формула: P(A*B)=P(A)*P(B/A)=P(B)*P(A/B) (теорема умножения вероятностей),т.е. вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого при условии, что первое произошло.

Если Р (А/В) = Р (А), то говорят, что событие А не зависит от события В. Свойство независимости событий взаимное – если Р (А/В) = Р (А), то и

Р (В/А) = Р (В).

Для независимых событий А и В теорема умножения вероятностей за-писывается так: Р (АВ) = Р (А) Р (В).

Ф-ла полной вер-ти: Пусть событие А может осуществляться лишь вместе с одним из событий , , …, Вn, образующих полную группу событий. Тогда вероятность появления события А ровна сумме произведений вер-й событий на условную вер-ть события А, т.е.:

.

Здесь P()-вер-ть события , )-условная вер-ть события А при этом событии.

Так как заранее неизвестно, с каким из событий произойдет событие А, то события называются гипотезами.

Ф-ла Байеса: Пусть событие А, которое может наступить только вместе с одним из событий , , …, Вn, образующих полную группу несовместных событий, произошло в результате какого-либо опыта. Тогда известные до опыта вероятности P(), P(), …, P(Bn) с учетом появления события А перевычисляются по формуле Байеса:

)= , i=1,2,…,n.

Формулы Байеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Дата добавления: 2015-07-10