Дискретная случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины. Ряд распределения, полигон, ф-я распределения.

Случайной наз. величина(СВ), кот. в рез-те опыта может принять то или иное (но только одно) значение причём заранее, до опыта неизвестно какое именно.

Число принимаемых СВ значений м.б. конечным, бесконечным (счётным или несчётным), значения могут быть расположены дискретно, либо заполнять сплошь некоторые интервалы.

СВ назыв. дискретной, если множество её возможных значений конечно либо счётно, т.е. их можно перенумировать натуральными числами.

Возможные значения непрерывной СВ целиком заполняют некоторый интервал (конечный или бесконечный).

Число возм-х значений-несчётное множество.

Законом распределения СВ назыв. любое соотношение, устанавливающее связь м-у возможными значениями СВ и их вер-ми. Рядом распределения дискретной СВ назыв. таблица, в кот. перечисл. знач. СВ (в порядке возрастания) и соответств. вероятн-ми.

Графич. изображение ряда распределения назыв. многоугольником или полигоном распределения. На горизонтальной оси откладывается значение , на вертикальной-вер-ти . Соседние точки с координатами () соединяем ломаными.

Ряд распределения нельзя построить для непрерывных СВ. Наиб. общей ф-мой закона распределения явл. ф-я распределения.

Ф-я распределения F(x) или интегральным законом распределения СВ X назыв. ф-я равная вер-ти того, что СВ X примет значение меньшее x: F()=P(x< ).

5. Непрерывная случайная величина. Ф-я распределения и её св-ва. Плотность вер-й и её св-ва.

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной. Так как для таких СВ функция F(x) нигде не имеет скачков, то вероятность любого отдельного значения непрерывной СВ равна нулю P{X=α}=0 для любого α.

Наиболее общей формой закона распределения, пригодной для всех СВ (как дискретных, так и недискретных) является функция распределения. Функцией распределения СВ X называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем аргумент функции x: .

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка X попадет левее заданной точки X. Из геометрической интерпретации наглядно можно вывести основные свойства функции распределения:

1. Все значения функции распределения F(x) принадлежат отрезку [0, 1], т. е. 0 .

Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

2. F(x)-неубывающая ф-я, т.е. F() , если .

Из этого свойства вытекают два важных следствия:

а) вероятность того, что СВ примет значение, заключенное в интервале [a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале: .

б) вероятность того, что непрерывная СВ Х примет одно определенное значение, равна нулю.

3. Если возможные значения СВ принадлежат интервалу (a,b), то F(x)=0 при x , F(x)=1 при x .

С л е д с т в и е. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие пре-дельные соотншения:

; .

4. Ф-я F(x) в точке непрерывна слева, т. е. .

Плотностью вер-ти непрерывной СВ X в точке x наз. производная ее ф-и распределения в этой точке и обозначается f(x). График плотности распределения называется кривой распределения. Св-ва:

1. Плотность распределения неотрицательна: f(x) ³ 0.

Это свойство следует из определения f(x) – производная неубывающей функции не может быть отрицательной.

2. Условие нормировки: .

Геометрически основные свойства плотности f(x) интерпретируются так:

1. вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;

2. полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Дата добавления: 2015-07-10