Корпоративная информационная система 3 страница

Возвратимся теперь к примеру с мухой. Приведенное предложение, семантически неправильное, может в гипотетической ситуации сказки оказаться прагматически правильным, что важно иметь в виду в случае применения лингвистических представлений.

При создании и использовании искусственных языков исполь­зуют такие понятия структурной лингвистики, как порождающая и распознающая грамматики.

Под порождающей грамматикой понимается совокупность правил, с помощью которых обеспечивается возможность фор­мирования (порождения) из первичных элементов (словаря) синтаксически правильных конструкций; под распознающей грам­матикой - правила, с помощью которых обеспечивается возмож­ность распознавания синтаксической правильности предложений, фраз или других фрагментов языка.

Все рассмотренные понятия в равной мере используются как в МЛ, так и в лингвистической семиотике. Некоторую условную границу между ними можно провести, лишь введя понятие клас­сов формальных грамматик (как теорий математической лингви­стики).

На базе лингвистических представлений развивается теория формальных грамматик Н. Хомского [16, 17 и др.]. Классы фор­мальных грамматик Хомского считаются основой теории фор­мальных языков.

Формальный язык определяют как множество (конечное или бесконечное) предложений (или «цепочек»), каждое из которых имеет конечную длину и построено с помощью некоторых опе­раций (правил) из конечного множества элементов (символов), составляющих алфавит языка.

Формальную грамматику определяют в виде четверки мно­жеств:

0 = <V_V V_N,R,A>, (l)

где V_T - множество основных, или терминальных, символов;

V_N - множество вспомогательных, или нетерминальных, символов; R - множество правил вывода, или продукций, которые могут иметь вид:

<х-*Р, (2)

где Ре (Ки Нд,),т.е. 0- цепочка конечной длины из терминальных и нетер­минальных символов множеств V_T\\ V_N,

a o.e{V_TKjV_N)V^V_TKjV_N\ (3)

т.е. а является цепочкой из терминальных и нетерминальных сим­волов, содержащей по крайней мере один нетерминальный сим­вол из Кд,; А - множество аксиом (в грамматиках комбинаторно­го типа, к которым относятся грамматики Хомского, А состоит из одного начального символа S, причем S e V_N).

Учитывая, что в литературе по формальным грамматикам, как правило, не стремятся к содержательной интерпретации получа­емых выводов, а рассматривают лишь формальную сторону про­цессов порождения и распознавания принадлежности цепочек соответствующему классу грамматик, приведем содержательный пример порождающей грамматики.

Предположим, дано:

V_T~ <e_v в₂, п,л> V_N = <S, Р>.

Порождающая грамматика Распознающая грамматика

S -> SP{1) SP -» S(V)

S -» e,S(2) e,5 -> S(2)

R = \R -» e₂SQ) e₂S -» 5(3'). (4)

S -» л (4) n -» 5(4')

P -> л (5) л -» Р(У)

23*

Применяя правила R левой части (4) в приведенной последо­вательности, получим:

S=>SP=$ e_]SP=^ e_xe₂SP=> e,e₂«P=> в_хв_гпл.
(1) (2) (3) (4) (5)

Это формальная сторона процесса порождения. Чтобы полу­чить интерпретируемое выражение, нужно расшифровать терми­нальные символы, включенные в V_N, где в_{ - «все», в_г ~ «возрас­ты», п - «покорны», л - «любви».

Тогда полученное предложение «в, в₂ п л» - «все возрасты по­корны любви».

Если изменять последовательность применения правил, то будут получаться другие предложения. Например, если приме­нить правила в последовательности (1)^ (3) => (2) => (4) => (5), то получится «возрасты все покорны любви». Если применить не все правила: например, (1) => (2) ^ (4) => (5), то получим «все покор­ны любви».

Если же попытаться получить предложение, как у А.С. Пуш­кина («Любви все возрасты покорны»), то, как бы мы ни меняли последовательность правил, получить эту фразу не удается. Нужно изменить первое правило: вместо S —» SP включить в R правило S-+PS.

Из примера видно, что вид порождаемых цепочек (предложе­ний) зависит от вида правил (исчисления) и от последовательности их применения (алгоритма).

С помощью приведенного примера легко также продемонст­рировать тесную связь понятия «грамматически правильно» с язы­ком (грамматикой).

Распознающая грамматика для рассматриваемого примера будет содержать как бы «перевернутые» правила - правая часть (4), которые должны применяться в обратной последовательнос­ти. Пример анализа правильности предложения с помощью пра­вил распознающей грамматики приведен на рис. 2.

Если при распознавании правильности предложения не ого­варивать, что предложение (цепочка) грамматически правильно с точки зрения правил данного формального языка, то можно, пользуясь формальной грамматикой в первоначальном виде, по­лучить вывод, что приведенная фраза Пушкина грамматически неправильна с точки зрения правил грамматики (4).

Действительно, с точки зрения правил грамматики для пост­роения делового текста, которым соответствуют правила (4), дру­гие поэтические строки часто получали бы формальную оценку «грамматически неправильно». И, напротив, если бы мы постро­или грамматику на основе анализа пушкинского стиля, то в де­ловом тексте получили бы предложения типа «Ярешение свое при­нял правильное» (подобно фразе «Я памятник себе воздвиг нерукотворный»).

Изложенное позволяет легко представить полезность опреде­ления формальной грамматики при создании языка моделирова­ния соответствующего литературного или музыкального произ­ведения - пародий, подражательств или, как иногда принято говорить, произведений соответствующего стиля или класса. На­пример, известны работы Р.Х. Зарипова [8] по моделированию написания музыкальных произведений в стиле, или в классе, мас­совых советских песен, работы по моделированию процесса со­чинения стихотворных произведений и т.п.

Подобным же образом можно моделировать порождение де­ловых писем или других документов, имеющих, как правило, не только формализованный стиль, но и формальную структуру.

Аналогично можно создавать языки моделирования структур, языки автоматизации проектирования сложных устройств и сис­тем определенного вида (класса).

Основу подобных работ составляют идеи, которые можно пояснить с помощью классов грамматик, впервые предложенных Хомским [16, 17].

Разделение грамматик на классы определяется видом правил вывода R. В зависимости от правил R можно выделить четыре основных, наиболее часто рассматриваемых класса грамматик (в полной теории формальных грамматик с правилами типа под­становки есть и промежуточные классы).

1-й класс. На правила вывода накладывается только одно требова­ние, чтобы в левой части этого правила было всегда меньше символов, чем в правой, т.е. чтобы правила были неукорачивающими, не умень­шали число символов в выводимых цепочках. Данный класс грамматик обычно так и называют неукорачивающими (НУ- грамматиками). Иног­да их также называют грамматиками типа нуль (нулевого типа) или ал­горитмическими.

2-й класс. На правила вывода, помимо требований неукорачиваемо-сти, накладывается ограничение, чтобы на каждом шаге изменялся толь­ко один символ в контексте, т.е. чтобы Z\ В Z2 —» Z\ WZ2, где В - один нетерминальный символ, W- непустая цепочка символов, т.е. W*0;Z\ и Z2 - контекст. Грамматику такого вида называют контекстной, кон­текстно-связанной или иногда применяют термин - грамматика непос­редственных составляющих (ЯС-грамматики). Данный термин иногда используется в расширенном смысле для названия всех комбинаторных грамматик, поскольку последующие классы являются подклассами НС- грамматик.

3-й класс. Если, кроме неукорачиваемости, требуется, чтобы прави­ла имели вид В -» 3, т.е. а в (2) всегда состояло бы из одного вспомога­тельного символа, то грамматику такого типа называют бесконтекст­ной или контекстно-свободной (.КС-грамматика).

4-й класс. Если на правила вывода накладывается по сравнению с 3-м классом еще одно ограничение, требующее, чтобы в правилах выво­да нетерминальный символ всегда стоял справа или слева, т.е. с одной стороны, то грамматику называют автоматной (Л-грамматикой). Если нетерминальный символ стоит слева, т.е. правила имеют вид А —> аВ или А -> а, где (А, В) е V_N, а e У_Г автоматная грамматика является пра-волинейной; если нетерминальный символ стоит справа, то автоматную грамматику называют леволинейной.

В теории формальных грамматик показывается, что имеет место следующее соотношение:

AqKCqHCq НУ. (5)

Иногда доказывают, что имеет место строгое вхождение:

AczKCcHCcz НУ. (5а)

При исследовании разных классов формальных грамматик получены результаты, которые позволяют сформулировать сле­дующее утверждение: по мере уменьшения числа ограничений, накладываемых на правила вывода, а именно по мере продвиже­ния в соотношении (5) слева направо, в языке увеличивается воз­можность отображения смысла, повышается смысловыражающая способность языка, т.е. возможность выражения с помощью формальных правил семантических особенностей проблемной ситуации (говорят, что формальная система становится более богатой). Однако при этом в языке растет число алгоритмически неразрешимых проблем - увеличивается число положений, истин­ность или ложность которых не может быть доказана в рамках формальной системы языка.

Здесь мы сталкиваемся фактически с гёделевской проблемой [19], которая в теории формальных языков обсуждается обычно в тер­минах этой теории, а именно: вводится понятие «операция опреде­лена (или не определена) на множестве языков данного класса» и считается, что операция определена на множестве языков данного класса, если после применения ее к языкам, входящим в это мно­жество, получается язык, принадлежащий множеству языков это­го класса. Например, если Я_х с КС и Я₂ с КС и если (Я, и Я₂) с КС, то операция объединения и определена на классе /ГС-языков.

Характеризуя с помощью введенного понятия классы языков, отмечают, что в соотношении (5) по мере продвижения слева на­право увеличивается число операций, которые не определены на множестве языков данного класса.

Здесь, правда, следует подчеркнуть, что дело обстоит не так прямолинейно. Точнее было бы сказать, что для большого числа операций нет доказательств, что они определены на классах НС-языков и ЯУ-языков, т.е. эти доказательства становятся сложнее или вообще (в силу теоремы Гёделя) нереализуемы средствами теории формальных грамматик.

В упрощенном виде проблема представлена с целью обратить внимание тех, кто будет заниматься разработкой языков програм­мирования или программных систем, языков моделирования, автоматизации проектирования, на необходимость учитывать закономерность: чем большими смысловыражающими возможно­стями обладает знаковая система, тем в большей мере растет в ней число алгоритмически неразрешимых проблем (т.е. тем менее доказательны в ней формальные процедуры).

■

При выходе в класс произвольных грамматик, в котором не выполняется даже условие неукорачиваемости, доказать допус­тимость тех или иных формальных преобразований средствами МЛ практически невозможно, и поэтому в поисках новых средств исследователи обратились к семиотическим представлениям. Здесь можно провести как бы формальную границу между линг­вистикой и семиотикой.

• 1. Волкова В.Н. Методы формализованного представления (отобра­
жения) систем: текст лекций / В.Н. Волкова, Ф.Е. Темников. - М.: ЙПКИР,
1974.-С. 56-65. 2. Волкова В.Н. Методы формализованного представ­
ления систем: учеб. пособие / В.Н. Волкова, А.А. Денисов, Ф.Е. Темников. -
СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1993. - С. 60-87. 3. Волкова В.Н. Основы тео­
рии систем и системного анализа: учеб. для вузов / В.Н. Волкова, А.А. Дени­
сов.-СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1997. - С. 117-125. 4. Глад кий А.В. Эле­
менты математической лингвистики / А.В. Гладкий, И.А. Мельчук. - М.:
Наука, 1969. 5. Горбатов В. А. Основы дискретной математики / В. А. Гор­
батов. -М.: Высш. школа, 1986. 6. Горькова В. И. Ранговое распреде­
ление на множествах научно-технической информации / В.И. Горькова //
НТИ, сер. 2, 1969, № 7. - С. 5-П. 7. Г р о с с М. Теория формальных грам­
матик/ М. Гросс, А. Лантен; под ред. А. В. Гладкого. - М.: Мир, 1971.8.3 а р и -
п о в Р. X. Машинный поиск вариантов при моделировании творческого
процесса / Р.Х. Зарипов. - М.: Наука, 1983. 9. Кузнецов О.П. Дискрет­
ная математика для инженеров / О.П. Кузнецов, Г.М. Адельсон-Вельский. -
М.: Энергоатомиздат, 1988. 10. Михайлов А.И. Основы информати­
ки / А.И. Михайлов, А.И. Черный, Р.С. Гиляревский. - М.: Наука, 1968.
П.Михайлов А.И. Научные коммуникации и информатика / А.И. Ми­
хайлов, А.И. Черный, Р.С. Гиляревский. -М.: Наука, 1976. 12. Пиотров­
ский Р.Г. Текст, машина, человек / Р.Г. Пиотровский. - Л.: Наука, ЛО, 1975.
13. Пиотровский Р.Г. Математическая лингвистика: учеб. пособие
для пед. институтов / Р.Г. Пиотровский, К.Б. Бектаев, А.А. Пиотровская. -
М.: Высш. школа, 1977. 14. Степанов Ю.С. Семиотика / Ю.С. Степа­
нов. - М.: Наука, 1971. 15. Фор Р. Современная математика / Р. Фор,
А. Коффман, М. Дени-Папен. - М.: Мир, 1966. 16. Хомский Н. Три мо­
дели для описания языка / Н. Хомский // Кибернетический сборник. Вып.
2. -М.: Изд-во ИЛ, 1961. 17. Хомский Н. Введение в формальный анализ
естественных языков / Н. Хомский, Дж. Миллер // Кибернетический сбор­
ник: новая серия. Вып. З.-М.: Мир, 1965.18. Шрейдер Ю.А. Информа­
ция в структурах с отношениями / Ю.А. Шрейдер // Сб.: Исследования по
математической лингвистике, математической логике и информационным
языкам. -М.: Наука, 1972. -С. 147-159. 19.Успенский В.А. Теорема
Гёделя о неполноте / В.А. Успенский. - М.: Наука, 1982. В.Н. Волкова

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА - здесь один из методов фор­мализованного представления систем (см.).

Символически отображение системы в параметрах бинарной логики (0,1) показано на рис. 1.

T

\ Базовыми понятиями МЛ являются

: высказывание, предикат, логические фун­кции (операции), кванторы, логический базис, логические законы (законы алгеб­ры логики).

Под высказыванием в алгебре логики понимается повествовательное предложе­ние (суждение), которое характеризуется определенным значением истинности.

В простейших случаях используются два значения истинности: «истинно» -

«ложно», «да» - «нет», «1» - «0». Такая алгебра логики, в кото­рой переменная может принимать только два значения истинно­сти, называется бинарной алгеброй логики Буля (по имени создате­ля алгебры логики).

Функции бинарной алгебры логики приведены в табл. 1, где собраны формы записи и наименования функций, встречающие­ся в различных литературных источниках. За основу при состав­лении табл. 1 взята таблица, приведенная в [13].

Предикат - выражение, грамматически имеющее форму выс­казывания, но содержащее переменные некоторых подмножеств, на которых они определены.

При замене переменных элементами соответствующего под­множества предикат обращается в высказывание. Обычно пере­менная стоит в предикативной части предложения, лежащего в основе высказывания (например, «быть Я'-вым карандашом», где X может принимать значения «красным», «синим» и т.д.), но в принципе это не обязательно (и возможны предикаты «Х- река», где Х- «Волга», «Днепр» и т.д.).

Частным случаем предиката является пропозиционная функ­ция - функция одной или нескольких переменных, принимающих значения в множестве, состоящем из двух элементов: «1» - «0».

Применение переменных высказываний служит для выраже­ния общности и позволяет формулировать законы алгебры логи­ки для любых высказываний данного вида.

Из одного или нескольких высказываний, или предикатов, можно образовать новые высказывания, или предикаты. Простые высказывания объединяются в сложные без учета смысла этих высказываний (предикатов) на основе определенных логических правил (операций, функций).

Число простейших логических функций в конкретной алгебре логики зависит от числа значений истинности и:

JV = 2²\ (1)

Для двузначной булевой алгебры логики N определяется чис­лом возможных двоичных наборов (и = 2):N=\6. При п = 3 мож­но образовать N = 256 логических функций.

Кроме логических функций в логике предикатов имеются еще операции квантификации - кванторы. Это специальные опера­ции, которые служат для выражения общности суждений и свя­занных с ними понятий (табл. 2) и позволяют на формальном язы­ке исчисления предикатов говорить не об одном объекте, а о целом классе объектов.

Полную систему логических функций называют логическим базисом. Чтобы система функций представляла собой базис, она должна обладать определенными свойствами.

Чтобы система функций была полной, необходимо и доста­точно, чтобы она содержала хотя бы одну функцию: не сохраня­ющую константу «единица», не сохраняющую константу «нуль», нелинейную, немонотонную, несамодвойственную.

Полный логический базис содержит избыточное число функ­ций. Такая система функций может остаться базисом при исклю­чении из нее некоторых функций. Исключение функций можно производить до тех пор, пока система не станет такой, что удале­ние из нее хотя бы одной из функций, ее образующих, будет при­водить к невыполнению перечисленных требований к базису. Такую систему называют минимальным базисом.

Минимальными базисами бинарной алгебры логики являют­ся базисы, включающие только по две функции {>, U} и {>, П}.

Функция отрицания не сохраняет константы «ноль» и «едини­ца» и не является монотонной; функции дизъюнкции U и конъюнк­ции П обеспечивают нелинейность и не являются самодвойствен­ными (в силу приведенных в табл. 3 теорем де-Моргана).

В этой связи существуют понятия дизъюнктивно-нормальной и конъюнктивно-нормальной формы, всегда удовлетворяющие тре­бованиям базиса.

В условиях выполнения требований к базису в алгебре логи­ки доказывают теоремы, демонстрирующие свойства операций над высказываниями. Применяя эти теоремы, формально можно

!■' получить правильный результат, не вникая в смысл проводимых ',- исследований. Примеры этих теорем, или логических законов, при-| ведены в табл. 3.

Из элементарных функций алгебры логики формируют пос-! ледовательности действий, отображающие процессы в системе от | входа до выхода, т.е. логические алгоритмы.

ТаблицаЗ

На рис. 2 и 3 проиллюстрирована разная запись одного и того же алгоритма (соответствие обозначений рис. 2 и 3 приведено на рис. 4).

Этот же алгоритм может быть записан следующим образом:

Существует много форм записи логических алгоритмов: в виде функций алгебры логики (2), в форме таблиц или матриц, «машин Тьюринга», логических схем по А.А. Ляпунову, с помощью рекур­сивных функций, на языке нормальных алгоритмов А.А. Марко­ва, в виде программ для вычислительных машин на одном из язы­ков программирования, в форме диаграмм Насси-Шнайдермана.

С основными способами представления алгоритмов можно познакомиться в [7, 9, 10 и др.].

Логические алгоритмы могут преобразовываться с использо­ванием логических законов. Пример применения одного из зако­нов (теоремы А. де-Моргана) приведен на рис. 5.

г

На базе логических представлений возникли и развиваются теории логического анализа и логического синтеза. Они основаны на применении средств алгебры логики к задачам анализа и Син­теза структур исследуемых систем, а также к задачам принятия решений в сложных проблемных ситуациях, возникающих в сис­темах или при взаимодействии систем.

Задача логического анализа состоит в описании поведения си­стемы с известной структурой набора системно -логически^ урав­нений (функций алгебры логики - ФАЛ) и исследование полу­ченного логического выражения с целью его минимизации, т.е. выяснении, нельзя ли получить более простую структуру (схему), содержащую меньшее число элементов (состояний), но осуществ­ляющую требуемые преобразования. Такие задачи возникают, например, при создании автоматических систем контроля неисп­равностей, систем автоматического резервирования, обеспечения надежности и т.д.

Задача логического синтеза заключается в том, чтобы по из­вестному поведению системы определить ее структуру (в случа­ях, если она неизвестна или не полностью известна), т.е. сопоста­вить системе некоторый «автомат» - «черный ящик» с известными входными и выходными воздействиями.

Таким образом, при логическом анализе задача сводится к минимизации ФАЛ, т.е. к оптимизации в некотором смысле ло­гического алгоритма. Задача логического синтеза сложнее, она обычно решается с помощью последовательных приближений, и на промежуточных этапах здесь также может быть полезна ми­нимизация ФАЛ.

Минимизация осуществляется в результае применения зако­нов алгебры логики, приведенных в табл. 3. Наиболее известны­ми методами минимизации ФАЛ являются: метод минимизирую­щих карт или таблиц (конъюнктивных или дизъюнктивных, импликатных); метод неопределенных коэффициентов; геометри­ческие методы; метод Блека - Порецкого (с обзором методов ми­нимизации ФАЛ можно познакомиться в [10], где даны ссылки на соответствующие первоисточники).

При возрастании числа переменных для минимизации ФАЛ применяют ЭВМ. При этом логический алгоритм нужно перевес­ти на один из языков программирования или при логическом ана­лизе сложных ситуаций разработать промежуточные языки про­ектирования или моделирования процессов управления (например,

:язык БИТ Э.Ф. Скороходько [11], логический язык ЛЯПАС пред­оставления алгоритмов синтеза А.Д. Закревского [5] и др.). \. Специфические особенности задачи логического синтеза при описании системы логическим автоматом вызвали возникнове-; ние и развитие самостоятельной научной дисциплины - теории i автоматов.

Логические методы представления систем возникли как детер­министские, но в дальнейшем стали предприниматься попытки их расширения в сторону вероятностных оценок. Они сыграли боль­шую роль в развитии теоретической основы алгоритмизации и программирования. В частности, они лежат в основе теории алго­рифмов (в дальнейшем - алгоритмов) А.А. Маркова.

Логические представления применяют в случаях исследова-■ ний новых структур систем разной природы (технических объек­тов, текстов и др.), в которых характер взаимодействия между ' элементами еще не настолько ясен, чтобы возможно было их пред­ставление аналитическими методами, а статистические исследо­вания либо затруднены, либо не привели к выявлению устойчи­вых закономерностей.

В то же время следует иметь в виду, что с помощью логичес-^: ких алгоритмов можно описывать не любые отношения, а лишь те, которые предусмотрены законами алгебры логики.

Логические представления широко применяются при иссле-.довании и разработке автоматов разного рода, автоматических систем контроля, при решении задач распознавания образов. На i их основе развивается самостоятельный раздел теории формаль­ных языков моделирования проблемных ситуаций и текстов.

Смысловыражающие возможности логических методов огра­ничены базисом и не всегда позволяют адекватно отобразить ре­альную проблемную ситуацию. Поэтому стали предпринимать­ся попытки создания вначале тернарной логики [8], а затем - и логик, в которых переменная может принимать не только край­ние значения «истинно» - «ложно», но и какие-либо из промежу­точных - многозначных логик [12, 14], вплоть до непрерывной.

Однако отметим, что даже для тернарной логики В.Т. Кулику [8] так и не удалось создать непротиворечивый логический базис, и он обра-' тился к созданию информационных языков моделирования на основе лингвистических представлений.

Неудача попыток создания многозначных логик объяснима, если i учесть, что вся математика, в том числе и математическая логика, чтобы

24*

соответствовать принципам строго формальной дедуктивной системы (с учетом, конечно, теоремы Гёделя), базируется на законе исключенного третьего (т.е. на предположении, что всякое событие (положение) может быть истинным или ложным, третьего не дано).

Реальная же действительность не подчиняется данному закону, и поэтому для ее моделирования необходимо либо создание подходов, основанных на формализации диалектической логики (см. Информаци­онный подход к анализу систем), либо использование лингвистических (см. Математическая лингвистика) и семиотических представлений (см.), которые свободны от требования выполнения закона исключенного тре­тьего, что и является иногда основанием для того, чтобы не включать эти направления в математику.

• 1. Волкова В.Н. Методы формализованного представления (отобра­
жения) систем: текст лекций / В.Н. Волкова, Ф.Е. Темников. - М.: ИПКИР,
1974. - С. 43-55.2. Волкова В.Н. Методы формализованного представ­
ления систем: учеб. пособие / В.Н. Волкова, А.А. Денисов, Ф.Е. Темников. -
СПб.:Изд-воСПбГТУ,1993.-С.51-60.З.Волкова В.Н. Основытеории
систем и системного анализа: учеб. для вузов / В.Н. Волкова, А.А. Денисов. -
СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1997. - С. 109-117. 4. Горбатов В. А. Основы
дискретной математики / В.А. Горбатов. - М.: Высшая школа, 1986. 5. Зак-
ревский А.Д. Алгоритмический язык ЛЯП АС (логический язык пред­
ставления алгоритмов синтеза) и автоматизация синтеза дискретных авто­
матов / А.Д. Закревский. - Томск: Изд-во Томского ун-та, 1965.6. К а р р и X.
Основания математической логики / X. Карри. - М.: Мир, 1969. 7. Кузне­
цов О.П. Дискретная математика для инженеров/О.П. Кузнецов, Г.М. Адель-
сон-Вельский.-М.:Энергоатомиздат, 1988. 8. Кулик В.Т. Современная
теория организации систем - системология / В.Т. Кулик. - Киев: Знание, 1971.
9. Москинова Г.И. Дискретная математика. Математика для менед­
жера в примерах и упражнениях: учеб. пособие / Г.И. Москинова. - М.: Ло­
гос, 2000. Ю.Поспелов Д.А. Логические методы анализа и синтеза схем
/Д.А. Поспелов.-М.:Энергия.-С.41-45. П.Скороходько Э.Ф. Инфор­
мационно-поисковая система БИТ / Э.Ф. Скороходько, Л.А. Пшеничная. -
Киев: Наукова думка, 1968.12. Финн В. К. Логические проблемы инфор­
мационного поиска/В.К. Финн.-Мл Наука, 1976. 13. Яблонский СВ.
Функции алгебры логики и классы Поста/ СВ. Яблонский.- М.: Наука, 1966.
14. Яблонский СВ. Введение в дискретную математику / СВ. Яблонс­
кий. - М.: Высшая школа, 2001. В.Н. Волкова

Дата добавления: 2015-11-04