Метод пристрелки

В методе пристрелки рассматривается двухточечная краевая задача для системы дифференциальных уравнений

,

или в векторной форме

. (11.40)

В качестве краевых условий заданы значения искомых функций на концах отрезка , причем часть условий задана в точке a, а другая часть - в точке b:

Числа i и j могут частично или даже полностью совпадать; однако между собой все числа i различны, также как и числа j.

Метод состоит в сведении краевой задачи к задаче (или задачам) Коши. Для того, чтобы можно было решать задачу Коши, исходя из точки a, нужно добавить недостающие (n–k) условий – значений неизвестных функций в точке a. При отсутствии каких-либо предположений относительно недостающих условий, эти условия выбираются произвольным образом. Аналогично добавляется k недостающих значений неизвестных функций в точке b. Тем самым формируется вектор недостающих или добавленных параметров P, часть координат которого относится к точке a, и часть к точке b. После добавления недостающих параметров – добавления недостающих условий – можно решать задачу Коши, как исходя из точки a, так и исходя из точки b, – навстречу друг другу.

Обозначим:

– решение задачи Коши, исходящее из точки a при заданном значении вектора P,

– решение, исходящее из точки b.

Если добавленные условия (координаты вектора P) выбраны правильно, то во всех внутренних точках отрезка . Если добавленные условия неверны, то существует расхождение: . Задача состоит в поэтапном улучшении первоначально добавленных условий – корректировке координат вектора P – до тех пор, пока решения не совпадут. В этом и состоит суть метода пристрелки.

Условно решения показаны на рис. 11.4. На самом деле для системы из двух дифференциальных уравнений решения описывают кривые в трехмерном пространстве. Для системы из уравнений – это кривые в пространстве измерений.

Для решения задачи на оси выбираем точку сшивания . Обозначим: – вектор невязки . Цель состоит в нахождении такого значения вектора P, при котором невязка равна нулю. Если это решение найдено, то любая из функций: или – является решением исходной краевой задачи.

Формально можно сказать, что цель состоит в решении системы уравнений:

, (11.41)

Однако у нас нет аналитического вида этой системы уравнений. Фактически мы имеем только вектор невязки – набор каких-то n чисел.

Рассмотрим вначале наиболее простой случай – систему из двух уравнений:

Пусть краевые условия имеют вид:

,

где k равно 1 или 2. В качестве точки сшивания выберем точку b. В этом случае для решения задачи достаточно добавить лишь одно условие в точке a. Добавим условие:

,

где p – параметр, который требуется определить. Обозначим:

–

решение задачи Коши для исходной системы уравнений с начальными условиями

Итак, в данном случае вектор добавленных параметров представляет собой скаляр p, и, соответственно, невязка также является скалярной величиной и зависит лишь от одной переменной. В общем случае эта функция нелинейна. Для нахождения значения параметра p нужно решить уравнение невязки

. (11.41а)

Если бы был известен аналитический вид функции , то решении подобного уравнения можно было бы найти известными итерационными методами, например, методом Ньютона – методом касательных:

. (11.42)

Формула (11.42) связывает значения неизвестной величины p, полученные на шаге итераций с номером s и на шаге итераций с номером s +1. Выбрав начальное приближение и применив формулу (11.42) достаточное количество раз, можно найти корень уравнения (11.41а) с требуемой точностью.

Однако при решении дифференциального уравнения численным методом аналитический вид функции неизвестен. Известно лишь некоторое число – значение невязки при выбранном значении добавленного параметра . Невозможно найти аналитическое выражение для производной . Однако можно найти оценку значения производной.

Поступим следующим образом. Дадим приращение величине , решим вновь задачу Коши и найдем новое значение невязки . Для оценки значения производной используем отношение . Подставив это отношение в формулу (11.41), получим новую формулу для нахождения :

. (11.42а)

Эта формула описывает метод секущих. Повторно применяя метод секущих достаточное число раз, можно найти корень уравнения (11.41а) с требуемой точностью.

Отметим, что на каждом шаге итераций для нахождения оценки производной функции Q требуется дважды решать задачу Коши.

В линейной краевой задаче невязка линейно зависит от значения параметра p, так что при решении линейной краевой задачи для нахождения корня уравнения достаточно провести только одну итерацию.

Пример 11.10. Методом пристрелки найдем решение линейной краевой задачи:

Эта краевая задача имеет точное решение .

Для нахождения приближенного решения методом пристрелки будем использовать метод Эйлера. Преобразуем исходное уравнение к системе уравнений первого порядка:

При выбранном шаге приращения аргумента требуется найти лишь одно значение неизвестной функции . Решение по методу Эйлера:

(11.43)

Дополняем левое краевое условие: . Используя формулы (11.43) находим

Получаем значение невязки при выбранном значении добавленного параметра:

.

Изменяем значение добавленного параметра и находим новое значение невязки:

.

Используя метод секущих (метод хорд), находим уточненное значение параметра

.

Поскольку данная краевая задача линейна, то найденное значение и есть искомое значение производной неизвестной функции в начальной точке . Находим значение :

.

Отметим, что точное решение задачи равно .

Пример 11.11. Методом пристрелки найдем решение краевой задачи:

.

(См. примеры 11.6, 11.8) Для решения задач Коши будем использовать метод Эйлера. Сетка включает только три точки: . Преобразуем уравнение второго порядка к системе уравнений, обозначив приближенное решение буквой u:

.

Значение рассматриваем как варьируемый параметр p. Выберем первое значение параметра: . Решаем систему уравнений методом Эйлера:

.

Получаем первое значение невязки: .

Выбрав новое значение параметра , вновь решаем задачу методом Эйлера и находим новое значение невязки:

.

По формуле метода хорд находим искомое значение параметра p:

.

Вычисляем искомую неизвестную величину: .

, (11.41)

Рассмотрим теперь общий случай. Пусть имеется система из n дифференциальных уравнений. Векторное уравнение невязки в этом случае представляют собой систему из n уравнений. Решение системы находят каким-либо итерационным методом, например, методом Ньютона. Обозначим:

– значение вектора недостающих (добавленных) параметров на шаге итераций с номером s,

– соответствующее значение вектора невязки.

Значение вектора добавленных параметров на шаге итераций с номером запишем в виде:

.

В соответствии с методом Ньютона для нахождения искомой поправки нужно решить систему уравнений

(11.44)

где – значение матрицы частных производных на шаге итераций с номером s. Система (11.44) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений и может быть решена методом Гаусса.

Итак, выбрав некоторое начальное значение вектора добавленных параметров , в ходе итераций можно найти решение уравнения с требуемой точностью. Однако трудность состоит в том, что неизвестно аналитическое выражение для невязки: на каждом шаге итераций – невязка представлена только набором из n чисел: . Соответственно, нет аналитического вида матрицы частных производных. Поэтому за неимением точных значений частных производных нужно найти их оценки. Нахождение оценок значений производных составляет наиболее трудоемкую часть расчетов. Получение этих оценок составляет основную часть всего объема вычислений. Для нахождения оценок координатам вектора недостающих параметров поочередно даются приращения, и для каждого приращения вновь решается задача Коши. Приращение одной координаты позволяет найти один столбец матрицы частных производных. Для нахождения всей матрицы требуется n раз решить задачу Коши. С учетом первого решения всего на каждом шаге итераций требуется (n +1) раз решать задачу Коши.

Обозначим:

– приращение j -ой координаты вектора недостающих параметров на шаге итераций с номером s,

– приращение i -ой координаты вектора невязки.

Тогда отношение дает оценку значения частной производной . Таким образом, приращение одной из координат вектора P^S и повторное решение задачи Коши позволяет найти один из столбцов матрицы J^S. Для нахождения всех столбцов матрицы следует решить задачу Коши (n+1) раз на каждом шаге итераций.

В случае, когда решение задачи Коши устойчиво на отрезке [a,b], размерность задачи может быть уменьшена. Для этого в качестве точки сшивания выбирается одна из границ отрезка. При этом размерность вектора P может выть снижена до m = min(k, n-k). В частности, для дифференциального уравнения 2-го порядка (или для системы из двух уравнений 1-го порядка) вектор недостающих параметров сводится к скаляру.

Отметим, что при решении линейной краевой задачи достаточно выполнить один шаг итераций.

Задачи

Приведенные ниже краевые задачи решить методом редукции к задаче Коши и методом пристрелки, используя для решения задачи Коши метод Эйлера.

Решить также эти задачи методом конечных разностей сначала с шагом , а затем с шагом , оценить погрешность и уточнить решение по правилу Рунге.

1. .

Точное решение: .

2. .

Точное решение: .

3. .

Точное решение:

4. .

Точное решение: .

5. .

Точное решение: .

6. .

Точное решение: .

7. .

Точное решение:

8. .

Точное решение:

.

Решение методом редукции

Полагаем: .

Значение производной выбираем произвольно: .

Вычисляем , преобразуя исходное уравнение к системе уравнений первого порядка:

Отсюда и .

Решение методом пристрелки

Так же, как и при решении методом редукции, преобразуем исходное уравнение к системе уравнений первого порядка:

.

В качестве добавляемого параметра будем использовать значение производной: .

Положим первое значение параметра равным . Это позволяет воспользоваться расчетами, полученными при решении методом редукции: . Получаем первое значение невязки: .

Выберем второе значение добавленного параметра: . Вычисляем:

.

Отсюда второе значение невязки: .

По формуле секущих находим нужное значение добавляемого параметра:

.

Вычисляем искомое значение: .

Решение методом конечных разностей

В данном случае сетка имеет только три узла. Обозначим:

.

После подстановки в исходное уравнение формул для производных получаем алгебраическое уравнение:

.

Решая уравнение, находим: .

Вопросы для повторения

1. В чем состоит краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения?

2. Сколько решений может иметь краевая задача?

3. В чем состоит линейная краевая задача?

4. В чем состоит метод редукции краевой задачи к задаче Коши? Чем определяется порядок метода?

5. Формулы для аппроксимации первой и второй производной.

6. В чем состоит метод конечных разностей для решения линейной краевой задачи? Какой порядок точности имеет метод конечных разностей?

7. В чем состоит метод пристрелки для решения краевых задач? Какие расчеты занимают основную часть объема вычислений? Сколько раз требуется решать задачу Коши на каждом шаге итераций? Чем определяется порядок точности метода?

Дата добавления: 2015-10-28