Читайте также: |
|
Для метода конечных разностей, рассматриваемого в следующем разделе, потребуются аппроксимации значений производных в узлах равномерной сетки. Введем такую сетку на отрезке : . Обозначим для краткости: .
Для нахождения значений производных воспользуемся разложениями функции в ряд Тейлора:
(11.18)
Используя выражения (11.18), можно построить разные приближенные формулы для производных. Из первого разложения можно получить следующую формулу для первой производной:
. (11.19)
Эта формула называется правой производной и имеет первый порядок точности. Более подробно:
.
Здесь q – некоторая точка в интервале .
Аналогично из второго разложения (11.18) найдем формулу для левой производной, также имеющей первый порядок точности:
. (11.20)
Вычитая из первого разложения (11.18) второе, получим формулу центральной производной:
. (11.21)
Формула центральной производной имеет второй порядок точности:
. (11.22)
Сложив оба разложения (11.18), найдем аппроксимационную формулу для второй производной:
. (11.23)
Формула для второй производной имеет второй порядок точности:
. (11.24)
Найдем также более точную “одностороннюю” аппроксимацию первой производной. Для этого воспользуемся разложениями:
Вычтя из первой формулы вторую и выделив из полученного выражения , получим аппроксимационную формулу, имеющую второй порядок точности:
. (11.25)
В частности, в левой граничной точке отрезка имеем:
. (11.26)
Дата добавления: 2015-10-28; просмотров: 53 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Метод редукции к задаче Коши | | | Метод конечных разностей |