Читайте также:
|
|
Рассмотрим сведение к начальной задаче линейной краевой задачи для уравнения второго порядка:
, (11.5)
. (11.6)
Предполагается, что функции – непрерывны, и
.
Будем искать решение в виде линейной комбинации
, (11.7)
где – ненулевое решение однородного уравнения
, (11.8)
а – некоторое решение неоднородного уравнения (11.5).
Потребуем, чтобы первое из краевых условий (11.6) выполнялось при любых значениях постоянной С:
(11.9)
Для того чтобы равенство (11.9) было справедливо, должны быть выполнены равенства:
, (11.10)
. (11.11)
Для обеспечения справедливости равенств (11.10), (11.11) достаточно, например, положить
, (11.12)
где k – постоянная, отличная от нуля, и, также,
, (11.13)
и
. (11.14)
В частности, можем положить .
Тем самым, исходная краевая задача сведена к двум задачам Коши, где u есть решение однородного уравнения (11.8), удовлетворяющее начальным условиям (11.12), а v – решение неоднородного уравнения (11.5), удовлетворяющее условиям (11.13) или (11.14). При этом, для любого С функция удовлетворяет краевому условию на конце отрезка
.
Подберем теперь постоянную С так, чтобы функция удовлетворяла условию на втором конце отрезка
:
Отсюда
. (11.15)
Предполагаем, что знаменатель в этом выражении не равен нулю. В этом случае задача имеет единственное решение. Если же оказалось, что , то задача либо совсем не имеет решений, либо имеет их бесконечно много.
Замечание. Если исходное уравнение (11.5) является однородным (), и, при этом,
, то решение ищется в виде
, где
– решение однородного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (11.12), и
. (11.16)
Пример 11.5. Методом редукции к задачам Коши найдем решение краевой задачи:
.
Для решения задачи Коши используем метод Эйлера. При заданном значении шага требуется найти только одно значение неизвестной: .
Ищем решение в виде: , где
– решение однородного уравнения, удовлетворяющее левому краевому условию. Очевидно, что это краевое условие выполняется при любом
, если
. Значение производной
можем выбрать произвольно. Положим, например,
.
Решаем сформулированную начальную задачу. Преобразуем уравнение к системе нормальных уравнений:
.
Решение: .
По формуле (11.16) вычисляем: . Следовательно,
.
Точное решение этой краевой задачи описывается формулой:
, и
.
Пример 11.6. Методом редукции к задаче Коши найдем решение краевой задачи:
.
Для решения задачи Коши используем метод Эйлера. При заданном значении шага требуется найти только одно значение неизвестной: .
Ищем решение в виде: , где
и
– соответственно, решения однородного и неоднородного уравнений. Левое краевое условие выполняется при любом значении
, если
. Значения производных можно выбрать произвольно, например,
. Решаем сформулированные задачи Коши, преобразовав уравнения второго порядка к нормальным системам:
Решаем:
По формуле (11.15) , и
.
Точное решение этой краевой задачи равно
,
.
Дата добавления: 2015-10-28; просмотров: 216 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Линейная краевая задача | | | Аппроксимация производных |