Читайте также:
|
|
Вновь рассматриваем решение линейной краевой задачи для уравнения второго порядка:
, (11.27)
. (11.28)
Ищем решение дифференциального уравнения в узлах сетки с постоянным шагом:
Обозначим: – значения соответствующих функций в точке xi.
В узлах сетки вместо производных, входящих в уравнение (11.27), подставим приближенные формулы (11.21), (11.23):
, .
Получим систему уравнений:
. (11.29)
Производные, входящие в краевые условия, также заменим подходящими аппроксимационными формулами. В итоге получим систему линейных алгебраических уравнений относительно значений неизвестной функции в узлах сетки . Таким образом, решение краевой задачи для дифференциального уравнения сводим к решению системы алгебраических уравнений.
Рассмотрим вначале простые примеры.
Пример 11.7. Рассмотрим решение краевой задачи:
.
В примере 11.5. эта задача была решена методом редукции к задаче Коши. Решим теперь эту задачу методом конечных разностей.
Сетка включает только три точки: , и неизвестным является только значение . Подставив в дифференциальное уравнение аппроксимации производных, получим уравнение для нахождения :
.
Подставив сюда все известные значения, найдем: . Вспомним, что точное значение равно .
Пример 11.8. Методом конечных разностей найдем решение краевой задачи:
.
Эта задача также решалась ранее методом редукции к задаче Коши (см. пример 11.6). Требуется найти всего лишь одно значение . Подставив в дифференциальное уравнение аппроксимации производных, получим уравнение для нахождения :
.
Подставив сюда все известные значения, найдем: . Вспомним, что точное значение равно .
Вернемся теперь к более общему случаю. Пусть требуется найти решение краевой задачи в узлах сетки Систему алгебраических уравнений (11.29) приведем к виду
(11.30)
где , , .
Рассмотрим вначале случай краевых условий, не включающих значений производных:
. (11.31)
В этом случае значения известны, и для нахождения неизвестных имеем систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей:
. (11.32)
Решая эту систему методом прогонки, исключим нижнюю диагональ матрицы системы. Для удобства в первом уравнении введем новые обозначения: . Затем последовательно вычислим коэффициенты:
В итоге приведем систему к виду:
После этого проведем обратную прогонку – вычисление значений . Из последнего уравнения найдем . Аналогично вычислим
.
На этом заканчиваются вычисления в случае простых краевых условий (11.31).
Рассмотрим теперь задачу с краевыми условиями, включающими значения производных (11.28). В этом случае необходимо использовать формулы для аппроксимации производных также и в краевых условиях. В левом краевом условии, в точке , применим формулу (11.26): . Получим уравнение:
(11.33)
В краевом условии в точке используем аппроксимационную формулу центральной производной . Получим уравнение:
(11.34)
Уравнения (11.33), (11.34) следует добавить к системе уравнений (11.32). В результате получим систему из уравнений относительно неизвестных . В новой системе нарушен трехдиагональный характер матрицы системы. Система имеет почти трехдиагональную матрицу; лишние ненулевые компоненты находятся только в первой и последней строках матрицы, соответствующих уравнениям (11.33) и (11.34).
Приведем матрицу системы к трехдиагональному виду. Вначале исключим из уравнения (11.33) слагаемое . Для этого, умножим первое из уравнений (11.30) на и прибавим полученное к уравнению (11.33). Приведем тем самым уравнение (11.33) к виду:
, (11.35)
где
Далее, исключим слагаемое в последнем из уравнений (11.30) . Для этого умножим данное уравнение на и вычтем из него уравнение (11.34). Получим в результате:
(11.36)
Уравнение (11.34) можно теперь исключить из дальнейшего рассмотрения. Объединив уравнение (11.35) и систему (11.30) с измененным последним уравнением, получим систему с трехдиагональной матрицей:
.
Для решения полученной системы уравнений используется метод прогонки. Приводим систему к виду:
.
Для этого последовательно вычисляем коэффициенты:
, ,
, ,
, .
На этом заканчивается этап прямой прогонки. Далее следует этап обратной прогонки – последовательное вычисление значений неизвестных:
На этом заканчиваются вычисления в случае общих краевых условий (11.28).
Рассмотрим более подробно уравнение
.
Для данного уравнения система разностных уравнений принимает вид:
Если при этом , то в матрице этой системы диагональные элементы преобладают: в каждой строке модуль диагонального элемента больше суммы модулей остальных элементов. В этом случае решение системы линейных алгебраических уравнений существует и единственно.
Теорема о порядке точности метода конечных разностей.
Если в краевой задаче
функции и дважды непрерывно дифференцируемы и при , то разностное решение равномерно сходится к точному с погрешностью при .
Доказательство.
При сделанном предположении имеет непрерывную четвертую производную. Тогда для погрешности аппроксимации справедливо соотношение
.
Следовательно, точное решение удовлетворяет разностному уравнению
или
Если из этого уравнения вычтем уравнение
,
То получим уравнение для погрешности :
Выберем такую точку , где достигает максимума; очевидно, что это не граничная точка. Учитывая условие , сравним в этой точке модули правой и левой частей уравнения:
.
Заменив в правой части на , мы только усилим неравенство. После сокращений получим:
.
Теорема доказана.
Замечание. Утверждение теоремы справедливо также для разностного решения уравнения общего вида ; в этом случае только усложняются выкладки при доказательстве.
Теорема дает мажорантную оценку погрешности метода конечных разностей. При некоторых дополнительных ограничениях можно получить асимптотическую оценку вида
,
где – некоторая функция. Из наличия асимптотической оценки следует возможность применения правила Рунге для апостериорной оценки погрешности и уточнения решения. Обозначим:
– точное решение краевой задачи в точке ,
– приближенное решение, полученное методом конечных разностей на сетке с шагом ,
– приближенное решение, полученное на сетке с шагом ,
– уточненное решение в точке .
Тогда по первой формуле Рунге с учетом второго порядка метода погрешность решения с шагом оценивается по формуле:
. (11.37)
Уточненное решение может быть найдено в соответствии со второй формулой Рунге:
(11.38)
Пример 11.9. Методом конечных разностей найдем решение краевой задачи:
.
В примере (11.8) было найдено решение этой задачи с шагом приращения аргумента . Это решение равно . Уменьшим теперь шаг вдвое, найдем оценку погрешности и уточним решение по правилу Рунге.
Подставив в дифференциальное уравнение аппроксимационные формулы для производных, получим алгебраическое уравнение:
.
Нам требуется найти решение в узлах сетки: . Учитывая краевые условия: – придем к системе уравнений:
Подставив сюда значения и , получим систему с численными коэффициентами, решение которой в среде Mathcad показано на рис. 11.3. Обозначим далее:
– решение дифференциального уравнения с шагом ,
– решение с шагом ,
– оценка погрешности решения ,
– уточненное решение,
– точное решение краевой задачи.
Результаты расчетов приведены в таблице. Для точки оценка погрешности решения равна . Для точек и оценка погрешности, полученная с помощью линейной интерполяции, равна . Вычитая оценки погрешности из решения с шагом , найдем уточненное решение . Результаты расчетов приведены в таблице. Для сравнения приведены точные значения . Видим, что применение правила Рунге заметно повышает точность результатов.
Таблица к примеру 11.9
x | y (x) | ||||
– | |||||
– |
Дата добавления: 2015-10-28; просмотров: 124 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Аппроксимация производных | | | Метод пристрелки |