Линейная краевая задача

Определим линейный дифференциальный оператор:

, (11.2)

где – известные, непрерывные на отрезке функции. Тогда неоднородное линейное дифференциальное уравнение можно записать в следующем виде:

, (11.3)

где – также непрерывная на функция.

Будем рассматривать двухточечные краевые условия. Краевые условия называются линейными, если они имеют вид:

, (11.4)

где – заданные постоянные, причем .

Линейная краевая задача состоит в нахождении решения линейного дифференциального уравнения (11.3), удовлетворяющего линейным краевым условиям (11.4). Предполагается, что краевые условия линейно независимы.

Линейная краевая задача называется однородной, если

Однородная краевая задача всегда имеет тривиальное решение . Разумеется, интерес представляют нетривиальные решения задачи. Для нахождения таких решений в дифференциальное уравнение или в краевые условия вводят параметр и ищут те значения параметра, при которых задача имеет нетривиальные решения. Соответствующие значения называютс я собственными значениями или характеристическими числами задачи. Соответствующие собственным значениям нетривиальные решения называются собственными функциями задачи.

Точное решение краевой задачи возможно лишь в редких случаях. Поэтому важны приближенные методы решения. Будем рассматривать точечно разделенные краевые условия, т.е. условия, каждое из которых содержит лишь одну из абсцисс. Рассмотрим вначале решение линейных краевых задач для уравнений второго порядка.

Дата добавления: 2015-10-28