Бинарная задача проверки простых гипотез

Наиболее просто задача построения оптимального приемника решается для случая амплитудной телеграфии с пассивной паузой, что соответствует принятию решения о том, что передавался символ 0 (сигнала нет) или символ 1 (сигнал есть).

Предполагается, что помеха в канале представляет собой гауссовский шум с нулевым средним и известной дисперсией, который взаимодействует с сигналом аддитивно (суммируется). Результатом обработки наблюдаемого колебания является случайная величина y, которая может иметь различное распределение в зависимости от того, есть ли сигнал в наблюдаемом колебании, а именно: распределение при гипотезе H ₀ – «сигнала нет» – является гауссовским с нулевым средним, а распределение при гипотезе H ₁ – «сигнал есть» – отличается сдвигом на величину a, зависящую от способа обработки (например, если обработка сводится к взятию отсчета в момент, когда несущее колебание достигает максимума, величина a представляет собой его амплитуду). Значение a предполагается известным.

Таким образом, проверяемые гипотезы описываются двумя условными плотностями распределения вероятностей w (y / H ₀) и w (y / H ₁), изображенными на рисунке 17.2.

Приемник в таком случае должен сравнить y с некоторым фиксированным значением (порогом) y _п и если y больше порога, принять решение о наличии сигнала, в противном случае – о его отсутствии, что можно кратко записать в следующей символической форме:

y ≥ y _п → «1»;

y ≤ y _п → «0».

Каким бы ни был порог y _п, очевидно, есть некоторая ненулевая вероятность p ₀₁принять решение о наличии сигнала при его фактическом отсутствии. Эта вероятность называется условной вероятностью ошибки первого рода («ложной тревоги») и определяется выражением:

Рис. 17.2. Условные плотности распределения вероятностей величины y при простых гипотезах

Аналогично, существует ненулевая вероятность принять решение об отсутствии сигнала, в то время как на самом деле он есть (условная вероятность ошибки второго рода, или пропуска сигнала):

.

Анализ рисунка 17.2 показывает, что сумма указанных условных вероятностей минимальна, если порог y _п находится как абсцисса точки пересечения условных плотностей w (y / H ₀) и w (y / H ₁).

Очевидно, при таком выборе порога приемник является оптимальным по критерию минимума суммарной условной вероятности ошибки(17.4) и принятие решения основывается на сравнении значений функций w (y / H ₀) и w (y / H ₁) при наблюдаемом значении y:

w (y | H ₀ < w (y | H ₁) → “1”

w (y | H ₀ ≥ w (y | H ₁) → “0”

Это правило принятия решения можно переписать также в форме:

. (17.5)

Решение, таким образом, принимается в пользу той гипотезы, которая представляется более правдоподобной при данном значении y, поэтому отношение называется отношением правдоподобияи обозначается Λ (y). Правило (17.5) называют правилом максимального правдоподобия. Заметим, что критерий (17.4) часто называют критерием максимума правдоподобия.

Критерий идеального наблюдателя предполагает учет априорных вероятностей гипотез, и оптимальный в смысле этого критерия приемник обеспечивает минимум средней вероятности ошибки, т.е. наименьшую сумму безусловных вероятностей ошибок первого и второго рода. Иначе говоря, сравнению подлежат функции w (y / H ₀) и w (y / H ₁), умноженные на соответствующие априорные вероятности. Правило принятия решения в таком приемнике можно записать в форме:

Используя понятие отношения правдоподобия, можно записать правило в виде:

,

при этом отношение правдоподобия сравнивается с пороговым значением, зависящим от априорных вероятностей.

Наконец, в случае байесовского критерия решение принимается по правилу:

,

или

.

Итак, во всех случаях оптимальный приемник (демодулятор, или решающее устройство) «устроен одинаково»: для наблюдаемого значения y, зависящего от принятой реализации z (t), вычисляется значение отношения правдоподобия, которое сравнивается с порогом; порог равен для оптимального приемника по критерию минимума среднего риска, p ₀ / p ₁ для идеального приемника Котельникова и 1 для приемника максимального правдоподобия.

Следует отметим, что иногда удобнее вычислять не отношение правдоподобия, а его логарифм. В силу монотонности логарифмической функции это не влияет на условные вероятности ошибок, если порог также прологарифмировать.

17.3. Приём полностью известного сигнала (когерентный приём)

Рассмотрим принятие решения в системе связи при следующих условиях: синхронизация является точной и форма сигнала на интервале наблюдения точно известна, неизвестен лишь сам факт наличия либо отсутствия сигнала в наблюдаемом колебании. (Эта ситуация наиболее близка к реальности в кабельных линиях связи, где условия распространения сигналов известны и практически неизменны.)

Будем считать, что на интервале наблюдения независимо от сигнала присутствует гауссовский шум с нулевым средним и спектральной плотностью мощности N ₀/2, постоянной в некоторой полосе частот - F < f < F («квазибелый» шум).

Полагая, что длительность интервала наблюдения равна T, возьмем n отсчетов наблюдаемого колебания с шагом Δ t = 1/2 F = T / n, при этом отсчеты шума являются некоррелированными вследствие того, что корреляционная функция квазибелого шума (вида "sin x / x ") пересекает ось абсцисс при значениях времени, кратных Δ t. Поэтому совместная плотность распределения вероятностей взятых отсчетов (выборочных значений) в отсутствие сигнала равна:

,

где σ² = N ₀ / F = N ₀ / 2Δ t.

Если сигнал присутствует и принимает в моменты взятия отсчетов значения s_k = s (t_k), то совместная плотность распределения вероятностей выборочных значений

.

Отношение правдоподобия

.

Подставляя в это выражение 2σ² = N ₀ / Δ t, получим

. (17.6)

Устремляя Δ t к нулю (n→∞), запишем логарифм отношения правдоподобия:

.(17.7)

Поскольку логарифм является монотонной функцией, правило обнаружения сигнала известной формы на фоне гауссовского квазибелого шума, оптимальное в смысле критерия максимума правдоподобия, основано на сравнении с нулевым порогом величины

, (17.8)

где – энергия сигнала.

Первое слагаемое в выражении (17.8) называется корреляционным интегралом, так как совпадает по форме с выражением взаимно корреляционной функции сигнала и наблюдаемого процесса при нулевом сдвиге. Энергия сигнала известна, и при обнаружении можно сравнивать значение корреляционного интеграла (случайное в силу случайности реализации z (t)) с порогом, равным E /2.

Правило различения M сигналов известной формы на фоне гауссовского квазибелого шума, оптимальное в смысле критерия максимума правдоподобия, основано на сравнении между собой величин , i = 1,… M.

Решение принимается в пользу того сигнала, для которого эта величина максимальна.

Структура оптимального приемника для различения M сигналов показана на рисунке 17.3.

Устройство выбора максимума УВМ выдает на выход номер k канала, в котором величина (4.8) максимальна.

Рис. 17.3. Структура приемника максимального правдоподобия

Пример 17.2. В проводных системах связи с амплитудной телеграфией могут применяться посылки в форме прямоугольного видеоимпульса. Предположим, что сигнал, соответствующий символу «1», представляет собой прямоугольный видеоимпульс с амплитудой a и длительностью T. Тогда корреляционный интеграл имеет вид

,

порог равен Е /2 = а ² Т /2, тогда решающее правило имеет вид

.

Структурная схема приемника показана на рисунке 17.4. Постоянная времени интегрирующей цепи должна быть много больше длительности посылки T. В этом случае начальный участок экспоненты a (1- e^{-t /( RC )}), отображающей заряд емкости, можно аппроксимировать прямой линией с тангенсом угла наклона a /(RC), равным производной экспоненты в нуле. Тогда за время T напряжение на входе решающего устройства, обусловленное сигналом, составит aT /(RC), а значение порога должно быть равно aT /(2 RC).

Рис. 17.4. Структурная схема приемника прямоугольного видеоимпульса

Пример 17.3. Предположим, что в двоичной системе связи с амплитудной телеграфией сигнал, соответствующий символу «1», представляет собой прямоугольный радиоимпульс с амплитудой a и длительностью T. Тогда s (t) = cos(ω ₀ t + φ), корреляционный интеграл имеет вид

,

а порог равен Е /2 = а ² Т /4. Сокращая на a и применяя реальный интегратор в виде RC -цепи, получаем структуру приемника, показанную на рисунке 17.5.

Рис. 17.5. Структурная схема приемника прямоугольного радиоимпульса

Пример 17.4. В двоичной системе связи с фазовой телеграфией сигналы s ₁(t) и s ₂(t), соответствующие символам «1» и «0», являются противоположными

s ₁(t) = cos(ω ₀ t + φ); s ₂(t) = cos(ω ₀ t + φ + π) = - s ₁(t)

Принятие решения основано на сравнении величин

.

C учётом равенства энергий правило принятия решения упрощается и принимает вид

.

Дата добавления: 2015-10-28