Коды Рида-Соломона

Коды Рида-Соломона являются субнабором циклических кодов и представляют собой линейные блочные коды. Код Рида-Соломона специфицируются как RS (n,m) s -битных символов.

Это означает, что кодировщик воспринимает m информационных символов по s бит каждый и добавляет символы четности для формирования n символьного кодового слова. Имеется n-m символов четности по s бит каждый. Декодер Рида-Соломона может корректировать до k / 2 символов, которые содержат ошибки в кодовом слове, где k = n - m.

Рис. 16.6. Структура кодового слова R-S

Пример 16.2. Популярным кодом Рида-Соломона является RS (255,223) с 8-битными символами. Каждое кодовое слово содержит 255 байт, из которых 223 являются информационными и 32 байтами четности. Для этого кода: n = 255, m = 223, s = 8 k = 32, k / 2 = 16.

Декодер может исправить любые 16 символов с ошибками в кодовом слове: то есть, ошибки могут быть исправлены, если число искаженных байт не превышает 16.

Коды Рида-Соломона базируются на специальном разделе математики – полях Галуа (GF) или конечных полях. Арифметические действия (+, -, x, / и т.д.) над элементами конечного поля дают результат, который также является элементом этого поля. Эти арифметические операции для своей реализации требуют специального оборудования или специализированного программного обеспечения.

Общая форма образующего полинома имеет вид: P (x) = (x - aⁱ)(x - a^{i +1})…(x - a^{i + k}), кодовое слово формируется с помощью операции: F (x) = P (x)× i (x), где P (x) образующий полином, i (x) представляет собой информационный блок, F (x) – кодовое слово, называемое простым элементом поля.

V. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ

Помехоустойчивость систем передачи дискретных сообщений

Основные понятия и термины

Задачи стоящие перед техникой связи, сводятся к двум основным проблемам:

1) эффективности связи;

2) помехоустойчивости связи.

Эффективность связи: передать наибольшее количество информации наиболее экономным способом.

Скорость передачи информации по каналу связи измеряется количеством информации, передаваемой в единицу времени. Максимальная скорость передачи информации, которую может обеспечить канал связи с данными характеристиками, называется его пропускной способностью.

Помехоустойчивость связи: способность системы сохранять свои функции неизменными или изменяющимися в допустимых пределах при действии помех.

Количественно помехоустойчивость оценивается различными показателями, использующими вероятностное описание сигналов и помех. Например, применяются такие показатели, как отношение сигнал/шум на входе и выходе приёмного устройства, вероятность правильного обнаружения сигнала, при передаче дискретных сообщений используется вероятность ошибки, а при передаче непрерывных сообщений в качестве меры различия между переданным и принятым сообщением часто используется среднеквадратическое отклонение.

В теории помехоустойчивости различают две основные задачи: анализа и синтеза.

Задача анализа посвящена расчёту показателей помехоустойчивости существующих (разработанных) систем.

В этом случае, полагая известными вероятностное описание сигнала и помехи на входе, определяют вероятностные характеристики выходного процесса, а по нему – показатели помехоустойчивости. Эта задача, по своей сути, сводится к анализу прохождения случайного процесса через линейные и нелинейные цепи, из которых состоит система.

Задача синтеза посвящена определению структурной схемы системы или, в более простом варианте, структурной схемы радиоприёмного устройства, которое обладало бы наилучшими, или оптимальными показателями помехоустойчивости при заданном предназначении устройства и при известном вероятностном описании сигнала и помехи на входе.

В этом случае конкретный вид сигнала и помехи, который наблюдается в определённое время на входе приёмника и который, в принципе, может рассматривается как выборка из того случайного процесса, условное вероятностное описание которого предполагается известным. Поэтому задачи синтеза, называются также задачами оптимального радиоприёма, которые разделяют на четыре частные задачи: обнаружения сигнала, различения сигналов, оценки параметров сигнала, фильтрации сигнала или сообщений.

В задаче обнаружения требуется наилучшим образом по заданному критерию оптимальности на основании наблюдения процесса ответить на вопрос, содержит ли наблюдаемый процесс сигнал вместе с помехой или является только помехой.

В задаче различения требуется по заданному критерию оптимальности наилучшим образом ответить на вопрос, какой именно сигнал вместе с помехой присутствует в наблюдаемом процессе, который может вместе с помехой содержать один из двух взаимно исключающих сигналов.

В задаче оценки параметров требуется наилучшим образом по заданному критерию оценить неизвестные параметры сигнала, считается, что в наблюдаемом процессе вместе с помехой существует сигнал с одним или несколькими неизвестными параметрами (параметр является случайной величиной постоянной на интервале наблюдения).

К задаче оценки параметров тесно примыкает задача разрешения сигнала, когда считается, что вместе с помехой в наблюдаемом процессе могут существовать один или два сигнала, неизвестные параметры которых незначительно отличаются между собой. Однако сколько этих сигналов – один или два – заранее неизвестно. Требуется, увеличивая различие между параметрами сигнала, определить то наименьшее различие, при котором наступает уверенное разрешение сигналов.

В задаче оптимальной фильтрации требуется в каждый момент времени дать наилучшую оценку меняющемуся параметру по заданному критерию оптимальности. Считается, что в наблюдаемом процессе существует вместе с помехой сигнал с изменяющимся во времени, в соответствии со случайным законом модуляции, параметром, т.е. параметр является случайной функцией времени.

В процессе передачи сообщений в системах связи выполняются различные преобразования, основные из которых показаны на упрощенной структурной схеме дискретной системы связи (рис. 17.1).

Рис. 17.1. Упрощенная структурная схема дискретной системы связи

Источник сигнала ИС включает в себя источник сообщений и преобразователь сообщения a (t) в первичный сигнал b (t). Первичный сигнал подвергается кодированию (экономному и/или помехоустойчивому) в кодере К, после чего сигнал b _ц(t), называемый цифровым, поступает в модулятор М (передатчик), вырабатывающий сигнал u (t), приспособленный по своим характеристикам для передачи по линии связи ЛС. В линии связи происходит искажение сигнала и его взаимодействие с помехой ξ (t) (в простейшем случае аддитивное), в результате чего на вход демодулятора ДМ (приемника) поступает наблюдаемое колебание z (t). Демодулятор выполняет функцию, обратную модуляции, поэтому на его выходе должен быть выработан в идеальном случае сигнал b _ц(t). Однако вследствие воздействия помех результат демодуляции отличается в общем случае от сигнала b _ц(t), поэтому результат декодирования также не совпадает с первичным сигналом b (t).

Для облегчения восприятия в дальнейшем рассматривается идеализированный канал связи без памяти, в котором отсутствуют искажения сигнала, тогда наблюдаемое

, (17.1)

где s (t) – посылка длительности τ, ξ (t) – помеха.

Задача демодулятора состоит в том, чтобы по наблюдаемому колебанию z (t) принять решение о переданном сигнале b _ц(t), такое, чтобы обеспечить максимальную верность. Правило (алгоритм) принятия решения – это закон преобразования z (t) в . Поскольку помеха является случайной, задача построения оптимального (наилучшего) демодулятора представляет собой статистическую задачу и решается на основе методов теории вероятностей и математической статистики (теории статистических решений).

Материалом для принятия решения в демодуляторе служит в рассматриваемом случае реализация колебания z (t) на интервале длительности T. Если бы помеха отсутствовала, то эта реализация совпадала бы с элементарным сигналом (посылкой), который можно считать точкой в гильбертовом пространстве сигналов, определенных на заданном временном интервале. Все возможные в данной системе связи посылки изображаются различными точками, и демодулятор должен вырабатывать свои решения в зависимости от того, какой именно точке соответствует принятая реализация z (t).

Реализация помехи, взаимодействуя с посылкой, смещает точку, изображающую принятую реализацию, причем смещение случайно вследствие случайного характера помехи. Если смещения будут значительными, демодулятор может ошибаться. Ошибка является случайным событием, поэтому качество решения можно характеризовать вероятностью ошибки.

Задача синтеза оптимального приемника (демодулятора) ставится следующим образом: найти оптимальный алгоритм обработки и оптимальное правило, обеспечивающие максимальную вероятность безошибочного (правильного) решения.

Максимум этой вероятности академик РАН Владимир Александрович Котельников назвал потенциальной помехоустойчивостью, а приемник, реализующий этот максимум, – идеальным приемником [13].

Алгоритм работы приемника состоит в разбиении гильбертова пространства реализаций входного колебания на области, так что решение принимается в соответствии с тем, какой области принадлежит принятая реализация. Количество областей равно количеству различных кодовых символов данной системы связи. Ошибка возникает в том случае, если в результате воздействия помехи реализация попадает в «чужую» область. Оптимальный приемник разбивает пространство реализаций наилучшим образом, так что средняя вероятность ошибки минимальна среди всех возможных разбиений.

Каждая область соответствует предположению (гипотезе) о том, что передан был один из возможных сигналов.

Пример 17.1. Предположим, что результатом обработки в двоичной системе связи с амплитудной телеграфией является значение y, соответствующее окончанию интервала наблюдения. Если в колебании z (t) присутствует только шум, имеющий гауссово распределение с нулевым математическим ожиданием, то плотность распределения величины y имеет вид:

, (17.2)

если кроме шума на вход приемника поступает сигнал, то результат обработки имеет ненулевое (для определенности – положительное) среднее значение a, и плотность распределения величины y имеет вид:

. (17.3)

Гипотезы, соответствующие выражениям (17.2) и (17.3), являются простыми. Если среднеквадратическое отклонение σ неизвестно, гипотезы являются сложными.

Рассмотрим систему связи, в которой используются K различных символов. Тогда демодулятор должен различать K различных гипотез. При этом возможны ошибки: может быть принято решение D_j в пользу j -й гипотезы, в то время как справедливой является i -я гипотеза. Такая ситуация характеризуется условной вероятностью ошибки p_ij = P { D_j / H_i }. Различные ошибки могут наносить разный вред, поэтому вводится численная характеристика П_ij, называемая потерей, или риском.

Каждая (i -я) гипотеза характеризуется некоторой вероятностью p_i осуществления, которая называется априорной вероятностью, суммируя, можно ввести усредненную характеристику (критерий) качества принятия решения, называемую средним риском.

Средний риск представляет собой математическое ожидание потерь, связанных с принятием решения.

Если априорные вероятности гипотез точно известны, а потери назначены обоснованно, то приемник, обеспечивающий наименьший средний риск, будет наиболее выгодным. Критерий минимума среднего риска называют также критерием Байеса.

Иногда потери, связанные с различными ошибками, принимают равными друг другу, П_ij=П; П_ii= 0; i = 1,… К, тогда оптимальный байесовский приемник обеспечивает минимальную среднюю вероятность ошибки (критерий идеального наблюдателя) и называется идеальным приемником Котельникова:

.

Если также принять равными априорные вероятности гипотез p_i = 1/ K; i = 1,… К, то критерий Байеса сводится к критерию минимума суммарной условной вероятности ошибки

. (17.4)

Дата добавления: 2015-10-28