Постановка задачи. Решение краевых задач для обыкновенных

Решение краевых задач для обыкновенных

Дифференциальных уравнений

Содержание

11.1. Постановка задачи 2

11.2. Линейная краевая задача 2

11.3. Метод редукции к задаче Коши 3

11.4. Аппроксимация производных 5

11.5. Метод конечных разностей 6

11.6. Метод пристрелки 10

Задачи 14

Постановка задачи

Краевая задача для уравнения n -го порядка ()

(11.1)

заключается в следующем: найти решение уравнения, удовлетворяющее в заданной системе точек n независимым условиям.

Наиболее часто рассматриваются двухточечные краевые задачи. В таких задачах условия заданы только на концах отрезка , на котором требуется найти решение дифференциального уравнения.

Пример 11.1. Найти решение уравнения второго порядка

,

удовлетворяющее краевым условиям: . Геометрически это означает: найти интегральную кривую, проходящую через точки .

Пример 11.2. Найти решение уравнения второго порядка

,

удовлетворяющее краевым условиям: . Геометрически это означает: найти интегральную кривую, пересекающую прямые под заданными углами: .

В общем случае краевая задача может

а) не иметь решений,

б) иметь единственное решение,

в) иметь несколько решений.

Пример 11.3. Краевая задача

имеет бесконечно много решений вида

Пример 11.4. Краевая задача

при имеет единственное решение

;

при не имеет решений.

Дата добавления: 2015-10-28