Геометричний зміст подвійного інтегралу

Якщо функція неперервна на , то подвійний інтеграл представляє собою об’єм прямого циліндричного тіла, що побудовано на області , як на основі і обмеженого зверху поверхнею (див. рис. 5.4). Якщо =1 для усіх , то чисельно дорівнює площі області , тобто .

1. Обчислити площі плоских фігур, що обмежені лініями

а) ,

б) .

а) Дані дві параболи читачеві пропонується зобразити самостійно. Координати точок перетину цих парабол є розв’язками системи рівнянь , тобто . У даному випадку в якості зовнішньої межі інтегрування простіше обрати . Області відповідають такі зміни і : , , Вважаючи на геометричний зміст подвійного інтегралу, отримаємо:

.

б) Уведемо полярні координати , тоді , а рівняння кривої, що обмежує область придбає вигляд: , тобто . Межі зміни полярного кута знайдемо із нерівності , тобто . На відрізку ця нерівність має розв’язок , тому

.

2. Обчислити об’єм тіла, що обмежено поверхнями

а) ,

б) .

а) В першому октанті площина відсікає піраміду, а на площині xOy ‑ трикутник ОАВ прямою , тобто . Площина ділить піраміду на дві піраміди, а трикутник ОАВ ‑ на два трикутники ОКВ і ОКА, які є проекціями створених пірамід. Оскільки не зазначено, об’єм якої саме піраміди потрібно знайти, знайдемо об’єми обох.

Знайдемо координати точки К, що є точкою перетину прямих і . Для цього розв’яжемо систему , звідки отримаємо .

Виходячи з геометричного змісту подвійного інтегралу, знайдемо об’єм піраміди з основою ОКА: . Даний інтеграл простіше обчислити, обравши зовнішньою межею інтегрування y. В рівняннях прямих х виразимо через у, одержимо: , а інтеграл придбає вигляд:

Об’єм піраміди з основою ОКВ можна знайти за допомогою подвійного інтегралу, а можна і з розумінь аналітичної геометрії. Об’єм усієї піраміди, що відсікається площиною дорівнює , тому шуканий об’єм дорівнює .

б) Поверхня є циліндричною з твірною, що паралельна вісі Оу. Вона відсікає на площині хОу півплощину . Рівняння поверхні можна переписати, виділивши повний квадрат, у вигляді . Звідси зрозуміло, що ця поверхня є круговим циліндром. В проекції на хОу цей циліндр утворює коло з центром в точці (2; 0) радіусу 2, яке цілком міститься в середині півплощини . Тому проекцією даного тіла на площину хОу є круг, який обмежує зазначене коло (рис. 5.6).

Об’єм даного тіла обчислюється за формулою . В рівнянні кола виражаємо через : , де знак „+” відповідає верхній частині кола, а „‑” – нижній. Область характеризується такою зміною координат: , тому одержуємо:

Дата добавления: 2015-10-02