Визначення подвійного інтегралу та його властивості

Подвійний інтеграл на прямокутнику. Прямокутник розбивається прямими, паралельними осям координат , на часткових прямокутника , . Вказане розбиття прямокутника позначимо через . На кожному з часткових прямокутників оберемо довільну точку . Покладемо . Довжину діагоналі прямокутника , що дорівнює назвемо діаметром прямокутника, а найбільший із діаметрів усіх часткових прямокутників називається діаметром розбиття прямокутника і позначається , тобто .

Число називається інтегральною сумою функції , що відповідає даному розбиттю прямокутника і даному вибору проміжних точок на частинних прямокутниках розбиття .

Якщо існує скінченна границя , що не залежить ні від вибору розбиття прямокутника , ні від виботу проміжних точок на частинних прямокутниках розбиття , то функція називається інтегрованою на прямокутнику , а ця границя називається подвійним інтегралом і позначається

Подвійний інтеграл по довільній області. Нехай - обмежена замкнена множина, що утворює квадровану фігуру. Позначимо через будь-який прямокутник, що містить в собі область . Визначимо на цьому прямокутнику функцію . Функцію називають інтегрованою в області , якщо функція інтегрована в прямокутнику . Число назвемо подвійним інтегралом від функції по області і позначимо символом .

Мають місце багато спільних властивостей подвійного інтегралу функції двох змінних і означеного інтегралу функції однієї змінної:

1) необхідна умова інтегрованості функції: будь-яка інтегрована функція є обмеженою;

2) властивість лінійності інтегралу;

3) властивість адитивності, яка дещо відрізняється від такої властивості одновимірного інтегралу, а саме: інтеграл по області дорівнює сумі інтегралів по квадровним областям, на які розбито область ;

4) добуток і частка інтегрованих на функцій є інтегрованою на функцією (для частки в припущенні про те, що для функції знаменника виконано: );

5) якщо дана функція інтегрована на , то функція інтегрована і має місце нерівність ;

6) якщо і інтегровані на і на , то

;

зокрема, якщо на , то ;

7) має місце теорема про середнє: якщо неперервна на , то існує така точка , що

.

Дата добавления: 2015-10-02