Інтегрування ірраціональних функцій

Інтегрування дробово-лінійних ірраціональностей виду (a, b, c, d=const, nÎN)

Здійснюємо підстановкою , звідки , . Ця підстановка раціоналізує підінтегральний вираз.

1. (№Д1932)

.

Частковим випадком дробово-лінійної ірраціональності є функція .

2. (№Д1927) Для інтеграла у виразі дробово-лінійної

ірраціональності треба обрати , тоді після заміни отримаємо: ,

.

Метод невизначених коефіцієнтів дає такі результати: , тому

.

Інтегрування квадратичних ірраціональностей

здійснюється підстановками Ейлера, які у даному випадку є універсальними:

перша основна підстановка Ейлера , якщо ;

друга основна підстановка Ейлера ;

третя неосновна підстановка Ейлера .

3. (№Д1966)

Інтегрування підстановками Ейлера іноді призводить до обчислення складних раціональних функцій. Розглянемо один частковий випадок, що дозволяє спростити таке інтегрування.

Інтегрування квадратичних ірраціональностей виду , де - многочлен степені

здійснюється представленням інтегралу у вигляді

,

де ‑ многочлен степеня з невизначеними коефіцієнтами, ‑ невизначений коефіцієнт.

4. (№Д1946) Обчислити інтеграл .

В чисельнику стоїть многочлен третього степеня, тому многочлен з невизначеними коефіцієнтами треба обрати другого степеня, і тоді отримаємо:

.

Для отримання значень невизначених коефіцієнтів треба спочатку продиференціювати обидві частини останньої рівності:

потім обидві частини помножаємо на квадратичну ірраціональність :

,

після чого застосовуємо метод невизначених коефіцієнтів

Звідки отримаємо

Інтеграл від диференціального біному ,

де - раціональні числа, може бути зведений до інтегрування раціональних функцій лише у трьох наступних випадках (теорема Чебишева)

1) якщо - ціле, то покладають , де - спільний знаменник дробів і ;

2) якщо - ціле, покладають , де - знаменник дробу ;

3) якщо - ціле, покладають , де - знаменник дробу .

5. (№Д1987)

.

Дата добавления: 2015-10-02