Обчислення подвійних інтегралів

Якщо (рис. 5.1), де неперервні на функції, а - інтегрована на , тоді подвійний інтеграл виражається через повторний співвідношенням:

.

При переході до полярних кординат: , при якому область переходить в область , має місце формула

.

(5.1)

1. Представити подвійний інтеграл у вигляді повторного інтеграла з зовнішнім інтегруванням за та зовнішнім інтегруванням за , якщо область задана указаними лініями

.

Рисунок області зображено на рис. 5.2. Спочатку знайдемо точку перетину даних кривих:

.

Представимо подвійний інтеграл у вигляді повторного інтеграла з зовнішнім інтегруванням за . В цьому випадку треба вказати незмінні межі інтегрування за , а межі інтегрування за будуть функціями, що залежать від . Для цього потрібно

1) в рівняннях границі виразити через : , при цьому необхідно врахувати, що в рівнянні першої кривої перед коренем стоїть знак „+”, тому що у даному випадку область обмежена правою гілкою параболи;

2) провести прямі, паралельні вісі абсцис (тобто прямі ) з метою виявлення необхідності розбиття області на частини, а саме:

· якщо така пряма проходить вище прямої , то вона спочатку перетинає вісь ординат, а потім криву ,

· якщо така пряма проходить нижче прямої , то вона спочатку перетинає вісь ординат, а потім криву ;

· отримане означає, що дану область потрібно розбити на дві частини прямою ;

3) першій з отриманих областей відповідають такі зміни і :

, ,

4) другій з отриманих областей відповідають такі зміни і :

, .

Розставляємо межі інтегрування з зовнішнім інтегруванням за :

.

Представимо подвійний інтеграл у вигляді повторного інтеграла з зовнішнім інтегруванням за . В цьому випадку треба вказати незмінні межі інтегрування за , а межі інтегрування за будуть функціями, що залежать від . Для цього потрібно

1) в рівняннях границі виразити через : , при цьому необхідно врахувати, що в рівнянні другої кривої перед коренем стоїть знак „‑”, тому що у даному випадку область обмежена нижньою частиною кола ,

2) провести прямі, паралельні вісі ординат (тобто прямі ) з метою виявлення необхідності розбиття області на частини, а саме: незалежно від розташування такої прямої вона спочатку перетинає криву , а потім криву , тому у даному випадку розбивати область на частини не потрібно,

3) області відповідають такі зміни і :

, .

Розставляємо межі інтегрування з зовнішнім інтегруванням за :

.

2. Обчислити подвійний інтеграл

Рисунок області інтегрування зображено на рис. 3.5. У даному випадку зручніше ставити зовнішню межу інтегрування – , щоб не розбивати область інтегрування на частини.

Виражаємо через в рівняннях кривих, отримаємо: . Області відповідають такі зміни і : , , тому

3. Обчислити подвійний інтеграл, використавши полярні координати

.

Рисунок області інтегрування зображено на рис. 5.3. Уведемо полярні координати , тоді , а рівняння кола , тобто в полярних координатах перепишеться, як . Тому область перейде в область , якій відповідають зміни полярних координат: , . Тоді згідно до формули (5.1) отримаємо

.

Дата добавления: 2015-10-02