Плоскости, пространства

Точечное уравнение отрезка прямой. При решении задач в начертательной геометрии может возникать задача деления отрезка АВ, заданного своими проекциями А₁В₁ и А₂В₂ в некотором соотношении.

Для решения этой задачи применяется теорема ФАЛЕСА (одна из теорем элементарной геометрии): “ Если на одной из сторон угла от его вершины последовательно отложить равные между собой отрезки и через концы этих отрезков провести параллельные прямые, которые пересекают вторую сторону угла, то на второй стороне угла отложатся также равные между собой отрезки ”.

Поскольку отношение отрезков, расположенных на прямой является инвариантом параллельного проецирования (не изменяется при параллельном проецировании), то для деления отрезка на эпюре достаточно разделить в необходимом соотношении одну из его проекций (на рис. 6.1 разделена горизонтальная проекция А₁В₁), а затем по линии связи определяется точка на второй проекции отрезка (на А₂В₂ точка С₂).

На эпюре, где важно графически изобразить траекторию, удобно использовать линейку и только после этого фиксировать нужную точку на прямой. В вычислительной геометрии нужную точку на прямой вычисляют с помощью точечного уравнения, которое выполняет роль вычислительной линейки.

Если концы отрезка заданы координатами А(х_А, y_А, z_А), B(x_В, y_А, z_А) и АС/AB = λ, тогда точечное исчисление позволяет вычислить точку С:

Точечное исчисление предусматривает покоординатный расчет точек. Таким образом, имеем координаты искомой точки С:

При λ = ½ точка С делит отрезок пополам (С – центроид отрезка), тогда будем иметь:

Если отношение λ принять как параметр t, который принимает значения из области действительных чисел, то текущая точка М прямой АВ определит точечное уравнение прямой:

Или, в другом виде:

Таким образом, поскольку параметр t = АМ/AB, то дополнение параметра до единицы имеет вид:

Тогда, окончательное точечное уравнение прямой можно записать в виде (рис. 6.2):

где a и b – симметричные параметры из области действительных чисел, которые удовлетворяют соотношению:

Параметры a и b называются стандартными, а уравнение – уравнением прямой в стандартной параметризации.

Если обозначить параметр t через q, а его дополнение к единице – через р, то уравнение прямой будет записано в виде:

где p+q = 1. Такое уравнение называется уравнением прямой АВ в естественной параметризации.

Существует бесконечно много и других параметризаций прямой, каждая из которых приспособлена к решению определенного вида задач, но естественная и стандартная параметризации составляют основу точечных уравнений. Чтобы задать точку С на прямой АВ достаточно задать ее параметры (например, р_с и q_c, причем p_c+q_c =1 или a_c и b_c, где a_c+b_c = l_AB).

Чтобы задать отрезок или луч на прямой достаточно указать область изменения параметров.

Зададим, например, значения параметра t для различных геометрических форм:

Значения параметра t Геометрическая форма

t = 0 Точка А

u = 1 Точка B

Дата добавления: 2015-10-02