Взаимные положения прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей

Взаимное положение двух прямых в пространстве. Две прямые в пространстве могут быть: пересекающимися, параллельными и скрещивающимися. Взаимное положение двух прямых можно установить по эпюру, исходя из соответствующих признаков.

Пересекающиеся прямые. Если две прямые а и b пересекаются в точке N, то точки пересечения одноименных проекций прямых лежат на одной линии связи (рис. 1.28, а).

Параллельные прямые. Если две прямые взаимно параллельны, то их одноименные проекции параллельны: а ׀׀ b, т.к а₁ ׀׀ b₁ и а₂ ׀׀ b₂ (рис. 1.28, б).

Скрещивающиеся прямые. Если прямые не пересекаются и не параллельны между собой, то точки пересечения их одноименных проекций не лежат на одной линии связи (рис. 1.28, в)

Рисунок 1.28 - Прямые на чертеже: а) параллельные;

б) пересекающиеся; в) скрещивающиеся

Точки, лежащие на проецирующей прямой, (рис. 1.28, в). называются конкурирующими. Конкурирующие точки удобно использовать при определении видимости эле­ментов фигур. Из двух конкурирующих точек относительно П₁ видимой на П₁ является та, высота которой больше. Из двух конкурирующих точек относительно П₂ видимой на П₂ является та, глубина которой больше. Из анализа проекций конкурирующих точек N_a, N_b и K_a, K_b, (рис. 1.28, в), можно сде­лать вывод, что прямая a проходит перед b и b над прямой a.

Взаимное положение прямой и плоскости. Возможны три случая относительного положения прямой и плоскости:

а) прямая принадлежит плоскости;

б) прямая параллельна плоскости;

в) прямая пересекает плоскость (в частном случае под прямым углом).

Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, лежащие в плоскости (рис. 1.29).

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, лежащей в этой плоскости.

На рис.1.29 построена фронтальная проекция прямой n, проходящей через точку А и параллельной плоскости ά (∆KLM).

Если прямая перпендикулярна плоскости, то горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция ее перпендикулярна фронтальной проекции фронтали.

На рисунке 1.30 через точку А(А₁;А₂) проведена прямая, перпендикулярная плоскости ά(∆ВСD).

В плоскости ά проведены горизонталь h (h₁,h₂) и фронталь f (f₁,f₂), затем через А₁ проведена горизонтальная проекция перпендикуляра p₁ под прямым углом к h₁, а через точку А₂ фронтальная проекция перпендикуляра p₂ под прямым углом к f₂. Прямые p₁ и p ₂ есть проекции искомого перпендикуляра р.

р ┴ ά → (p₁ ┴ h₁)+ (p₂ ┴ h₂)

Общий случай пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения представлен на рис.1.31.

В лекции №4 будет подробно рассмотрено построение точки пересечения прямой n с плоскостью общего положения АВС.

Взаимное положение двух плоскостей. Возможны два случая относительного положения плоскостей:

а) плоскости взаимно параллельны;

б) плоскости пересекаются (в частном случае под прямым углом).

Две плоскости параллельны, если существует пара пересекающихся прямых одной плоскости, соответственно параллельная паре пересекающихся прямых другой плоскости (рис. 1.32).

Если хотя бы одна пара одноименных следов различных плоскостей пересекается, то такие плоскости пересекаются между собою по прямой. На рис. 1.33 показано построение линии пересечения плоскостей, заданных следами. Более подробно случай взаимного пересечения двух плоскостей будет рассмотрен в лекции №2.

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержит перпендикуляр к другой (рис. 1.34)

Для решения задачи на проведение плоскости, перпендикулярной плоскости ά (∆ВСD), достаточно на прямой m взять произвольную точку А и провести через нее прямую р, перпендикулярную данной плоскости ά. Пересекающиеся прямые m и р образуют плоскость β, которая содержит прямую р, перпендикулярную плоскости ά следовательно, плоскости β и ά взаимно перпендикулярны: β (mxp) ┴ ά(∆ВСD) где p┴ ά(∆ВСD).

---

Дата добавления: 2015-10-02