Прямоугольные проекции точки и прямой на эпюре Гаспара Монжа

Прямоугольные проекции точки на эпюре Гаспара Монжа. В начертательной геометрии чаще используются не координаты, а проекции точек на три взаимно-перпендикулярные плоскости проекций П _1, П ₂, П ₃ (рис. 1.4).

Рисунок 1.4. Проекции точки на плоскости проекций

Проекции точки А на эти плоскости проекций получили соответственные наименования:

· А ₁ – горизонтальная проекция точки А.

· А ₂ – фронтальная проекция точки А.

· А ₃ – профильная проекция точки А.

В качестве горизонтальной плоскости проекций П₁ принята координатная плоскость OXY, П₂ º OXZ, П₃ º OYZ. Точку однозначно определяют три ее координаты (рис.1.5).

Например, точка А и ее проекции А₁, А₂, А₃ определяются декартовыми координатами: A(x_A, y_A, z_A); A₁(x_A, y_A); A₂(x_A, z_A); A₃(y_A, z_A);

Поскольку любая пара проекций точки содержит в себе все три координаты, то справедливо утверждение:

СИСТЕМА ДВУХ ПРОЕКЦИЙ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧ-

НО ОПРЕДЕЛЯЕТ ЕЕ ПОЛОЖЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ,

ПРИЧЕМ ОДНА ИЗ КООРДИНАТ ОБЩАЯ ДЛЯ ДВУХ

ПРОЕКЦИЙ.

Из полученного утверждения, можно сделать вывод, что начертательная геометрия может использовать не три, а две плоскости проекций П₁ и П₂. Две плоскости проекций делят пространство на четыре части, которые называются четвертями или квадрантами. Точка А находится в первой четверти, смежные с нею – вторая четверть (за фронтальной плоскостью П₂) и четвертая четверть (под горизонтальной плоскостью проекций П₁). Третья четверть симметричная первой относительно оси ОХ.

Теперь изображения, полученные в плоскостях Π₁, П₂ и П₃ совместим в одну плоскость, совпадающую с П₂. Для этого плоскость П₁ будем вращать вокруг оси X₁₂ до совмещения с П₂, а плоскость П₃ – вокруг оси Z₂₃ и в результате получим комплексный чертеж, изображенный на рис. 1.6.

Рисунок 1.6. Комплексный чертеж (эпюр Г.Монжа) точки А

При совмещении плоскостей проекций П₁ и П₂ вращением вокруг оси абсцисс, оси OY и OZ сливаются в общую прямую линию, но имеют разные направления. Звенья А₁₂А₁ и А₁₂А₂ координатной ломаной образуют прямую А₁А₂, перпендикулярную оси ОХ, которая называется линией проекционной связи. Плоский чертеж состоящий из горизонтальной А₁ и фронтальной А₂ проекций точки А, расположенных на линии связи А₁А₂, перпендикулярной оси проекций ОХ º х₁₂ называется эпюром (ортогональным чертежом) и носит имя основателя начертательной геометрии Гаспара Монжа.

Положения точки относительно плоскостей проекций. Принципиально возможны четыре положения точки относительно системы плоскостей проекций.

В первом случае положение точки А (x,y,z) в пространстве задают тремя координатами, отличными от нуля. Все три проекции точки отдалены от осей и от плоскостей проекций (рис. 1.7).

Во втором случае точка может лежать в одной из плоскостей проекций, например в π₂: т. В (x,0,z) на рис. 1.7. В этом случае фронтальная проекция В₂ совпадает с самой точкой В (В₂ ≡ В), горизонтальная проекция В₁ лежит на оси х, а профильная В₃ – на оси z.

В третьем случае точка может лежать на одной из осей проекций, например на y: т. С (0,y,0) на рис.1.7. В этом случае расстояние от точки до π₁ и π₃, в которых она належит, равняются нулю, то есть точку задают лишь одной координатой у. Две проекции такой точки совпадают с самой точкой, а третья лежит в начале осей – в точке О.

Рисунок 1.7. Положения точек относительно плоскостей проекций

В четвертом возможном случае положение точки D совпадает с началом координат, тогда т. D совпадает со всеми тремя своими проекциями и т. О – началом координат: D≡D₁≡D₂≡D₃≡O.

---

Дата добавления: 2015-10-02