T ≤1 Отрезок AB

t³ 0 Луч из А направленный к B

t £ 0 Луч из А направлен противоположно B

t³ 1 Луч из B в направлении обратном А

t £ 1 Луч из B в направлении А

– ∞ < t < ∞ Прямая АB

Точечное уравнение плоскости. Плоскость определяют три ее точки , не принадлежащие одной прямой, которые образуют треугольник (рис. 6.3). В начертательной геометрии треугольник графически изображается двумя проекциями и , которые соединяются линиями проекционной связи, перпендикулярными оси проекций . Для фиксации текущей точки на плоскости выбирают одну из ее проекций, например . Через проводят фронтальную проекцию прямой, принадлежащей плоскости (например ). Определяют горизонтальную проекцию прямой с помощью линии проекционной связи . На с помощью линии проекционной связи определяется . Две проекции точки однозначно определяют три координаты , числовые значения которых можно измерить по чертежу.

В вычислительной геометрии координаты текущей точки определяются с помощью точечного уравнения:

где , .

Если принять, что r = 1–p–q, то получим уравнение плоскости в естественной параметризации:

Таким образом, уравнение плоскости может определяться симплексом АВС с помощью двух независимых параметров p и q.

Значения параметров p, q, r Геометрическая форма

p ≥ 0, q ≥ 0, r ≥ 0, p+q+r =1 Треугольный отсек ABC плоскости

p = 1, q = r = 0 Точка А

q = 1, p = r = 0 Точка B

r = 1, p = q = 0 Точка C

p = 0, q + r = 1 Прямая BC

q = 0, p + r = 1 Прямая CA

r = 0, p + q = 1 Прямая AB

p + q + r = 1 Плоскость α(А, B, C)

В симплексе АВС (рис. 6.4) текущую точку М можно определить ориентированными площадями:

Точечное уравнение плоскости можно определить через площади ориентированных треугольников, если площади заменить пропорциональными величинами a, b, c, тогда получим уравнение плоскости в стандартной параметризации:

Точечное уравнение трехмерного пространства. Трехмерное пространство определяется симплексом АВСD в виде уравнения (рис. 6.5):

Однородные параметры в этом уравнении пропорциональны ориентированным объемам, на которые разделяет симплекс точка М:

V = V _ABCD; V _A = V _MBCD; V _B = V _AMCD;

V _C = V _ABMD; V _D = V _ABCM.

Учет ориентации имеет важное значение для задания пространства в точечном исчислении. В точечном исчислении предлагается перейти к символьной наглядности в определении ориентации.

Символьное определение однородных параметров:

1. Прямая:

2. Плоскость:

3. Пространство:

Стандартное уравнение пространства имеет следующий вид:

Уравнение пространства в естественной параметризации имеет вид:

где p + q + r + g =1.

---

Дата добавления: 2015-10-02