Пересечение прямой и плоскости, двух плоскостей

Графическое решение позиционных задач основывается на определении каких-либо общих элементов геометрических объектов, например, точки пересечения прямой и плоскости, линии пересечения двух плоскостей.

Пересечение прямой и плоскости. Задачу на пересечение прямой и плоскости можно решать с помощью вспомогательной секущей плоскости, которая должна удовлетворять следующим условиям:

· быть плоскостью частного положения, так как именно плоскость частного положения проецируется на соответствующую плоскость проекций в виде прямой;

· проходить через прямую, точку пересечения которой с плоскостью мы отыскиваем.

Эта задача является первой основной позиционной задачей курса начертательной геометрии.

Алгоритм решения задачи (рис. 4.16, 4.17):

1. Прямую l заключаем во вспомогательную плоскость σ;

2. Находим линию пересечения (1-2) вспомогательной плоскости с заданной ά;

3. Отмечаем точку пересечения К найденной линии пересечения (1-2) с прямой l;

4. Определяем видимость прямой l.

Рисунок 4.16, 4.17. Пересечение прямой и плоскости

Пересечение двух плоскостей. Две плоскости пересекаются по прямой линии, поэтому для ее построения достаточно найти две точки, одновременно принадлежащие двум плоскостям.

Рисунок 4.18. Пересечение двух плоскостей

Рассмотрим несколько случаев построения линии пересечения двух плоскостей.

1-й случай – пластины непрозрачные заданы с нахлестом (рис. 4.18). Задача сводится к нахождению точек пересечения прямых m и n с плоскостью ά (∆ АВС). Соединив точки пересечения К и М получим линию пересечения плоскости ά (∆ АВС) с плоскостью β (m // n). Видимость определяется по конкурирующим точкам.

2-й случай – плоскости заданы на некотором расстоянии, что не дает возможность определить линии пересечения двух плоскостей первым способом. В этом случае используется метод плоскостей-посредников.

Алгоритм решения задачи (рис. 4.19):

1. Заданные плоскости ά и β рассекаем вспомогательной плоскостью посредником ε;

2. Определяем линию пересечения 1-2 плоскости ά с плоскостью σ и линию пересечения 3-4 плоскости β с плоскостью ε;

3. Определяем точку К – точку пересечения линий 1-2 и 3-4, принадлежащую плоскостям ά и β;

4. Аналогичным образом находим точку L с помощью плоскости посредника σ;

5. Соединив две точки К и М, получим линию пересечения двух плоскостей ά и β. Видимость при этом не определяется.

Рисунок 4.19. Пересечение двух плоскостей

3-й случай – пересекающиеся плоскости общего положения заданы следами пересекающимися в пределах чертежа (рис. 4.20).

В данном случае в качестве плоскостей-посредников могут быть использованы плоскость проекций П₁ и П₂.

Дата добавления: 2015-10-02