Построение разверток: способ раскатки, способ триангуляции

Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга).

Приступая к изучению развертки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую пленку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путем изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещен с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развертывающейся, а полученную плоскую фигуру – ее разверткой.

Основные свойства развертки:

· Длины двух соответствующих линий поверхности и ее развертки равны между собой;

· Угол между линиями на поверхности равен углу между соответствующими им линиями на развертке;

· Прямой на поверхности соответствует также прямая на развертке;

· Параллельным прямым на поверхности соответствуют также параллельные прямые на развертке;

· Если линии, принадлежащей поверхности и соединяющей две точки поверхности, соответствует прямая на развертке, то эта линия является геодезической.

Построение разверток поверхностей представляет собой важную техническую задачу и имеет большое практическое значение при конструировании различных изделий из листового материала, так как в промышленности применяется много конструкций в виде сосудов и трубопроводов, выполненных из листового материала способом изгибания. Одним из важных этапов в проектировании таких конструкций является построение разверток.

При этом необходимо отметить, что часто приходится изготовлять из листового материала не только развертывающиеся поверхности, но и неразвертывающиеся поверхности. В этом случае неразвертывающуюся поверхность разбивают на части, которые можно заменить развертывающимися поверхностями, а затем строят развертки этих частей.

Если рассматривать поверхность и ее развертку как точечные множества, то между этими двумя множествами устанавливается взаимно однозначное соответствие. Значит, каждой точке на поверхности соответствует единственная точка развертки, каждой линии соответствует линия на развертке и наоборот.

Рассмотрим два способа построения развертки многогранных поверхностей:

1. Способ раскатки;

2. Способ треугольника.

Способ раскатки. При построении разверток данным способом поверхность цилиндра или призмы разрезается по одной из образующих или по одному ребру и совмещается вращением вокруг образующей или вокруг ребра с некоторой плоскостью.

Данный способ обычно применяется в случае, когда образующие цилиндра или ребра призмы являются линиями уровня. Если образующие цилиндра или ребра призмы не являются линиями уровня, то предварительно одним из способов преобразования комплексного чертежа их надо привести в положение линий уровня.

Рассмотрим построение чертежа развертки поверхности призмы, ребра которой являются фронтальными линиями уровня, а нижнее основание является горизонтальной плоскостью уровня, представленное на рис. 2.30.

Рисунок 2.30. Построение чертежа развертки поверхности призмы

За плоскость развертки примем плоскость β, проходящую через ребро AD, параллельную фронтальной плоскости проекций. Совместим грань ADEB с плоскостью β. Для этого мысленно разрежем призму по ребру AD, и выполним поворот грани ADEB вокруг ребра AD. Из точки B" опускаем луч, перпендикулярный к A"D" и засекаем на нем дугой радиуса A`B `, проведенной из центра A", точку B₀. Из точки B₀ проводим прямую B₀E₀, параллельную A"D". Совмещенное положение ребра B₀E₀ принимаем за новую ось и вращаем вокруг нее грань BEFC до совмещения с плоскостью β. Из точки C" опускаем луч, перпендикулярный к B"E", а из точки B₀ – дугой окружности радиусом B`C ` засекаем на нем положение точки C₀. Из C₀ проводим C₀F₀ параллельно B₀E₀. Аналогично определяется положение ребра A₀D₀. Соединив точки A"B₀C₀A₀ и D"E₀F₀D₀ прямыми, получим фигуру A"B₀C₀A₀D₀E₀F₀D" – развертку боковой поверхности призмы. Полная развертка призмы будет получена, если к каким-либо из звеньев ломаных линий A"B₀C₀A₀ и D"E₀F₀D₀ пристроить треугольники основания A₀B₀C₀ и D₀E₀F₀. Способ раскатки применяется также для получения развертки цилиндрической поверхности.

Способ триангуляции.Развертки конических, пирамидальных и других линейчатых поверхностей, за исключением цилиндрических, поверхностей строятся способом триангуляции (способом треугольников). Способ заключается в следующем:данная поверхность заменяется вписанной или описанной многогранной поверхностью с треугольными гранями и строится развертка этой многогранной поверхности.

Другими словами, построение разверток указанных поверхностей сводится к многократному построению натурального вида треугольников.

Рассмотрим применение этого способа для построения разверток пирамидальных поверхностей на примере наклонной треугольной пирамиды (рис. 2.31). Развертка боковой поверхности пирамиды - плоская фигура, состоящая из треугольников - граней пирамиды. Поэтому построение развертки сводится к определению действительной величины ребер пирамиды и построению по трем известным сторонам треугольников - граней пирамиды.

Рисунок 2.31. Построение чертежа развертки поверхности пирамиды

Вращаем ребра вокруг оси i (i⊥П1) и совмещаем с плоскостью β. Выполняем определение действительных величин ребер пирамиды [S"A₂], [S"B₂], [S"C₂]. Приступая к построению развертки, проводим произвольную прямую a через произвольную точку S₀. Откладываем на ней от точки S₀ отрезок S₀ [S₀A₀]=[S"A₂]. Из точки A₀ проводим дугу радиусом r₁=A`B`, а из точки S₀ – дугу радиусом R₁=S"B₂. Пересечение дуг укажет положение вершины B₀ΔS₀A₀B₀ (ΔS₀A₀B₀ = ΔSAB – грани пирамиды). Аналогично определяем положение точек C₀ и A₀. Соединяя точки A₀B₀C₀A₀S₀, получим развертку боковой поверхности. Присоединив к какому-либо ребру основание (ΔABC) – получим полную развертку поверхности пирамиды.

Для построения развертки способом триангуляции конической поверхности, ее заменяют вписанной в нее поверхностью вписанной многоугольной пирамиды. Чем на большее количество треугольников разбита данная поверхность, тем точнее ее развертка.

Дата добавления: 2015-10-02