Принадлежность точки и линии поверхности

Построение любых проекций точек на поверхности многогранника либо кривой поверхности осуществляется наиболее эффективно при помощи образующих и направляющих, хотя можно использовать и другие приемы. Как правило, задача формулируется следующим образом: на двух проекциях заданной поверхности начертить недостающие проекции точки или линии.

Рассмотрим пример. Пусть заданы фронтальная и горизонтальная проекции наклонной призмы. Требуется построить отсутствующие проекции точек на ее поверхности, если на чертеже (рис. 4.12) есть точки 1₂, (2₁), (3₁), 4₁, (5₂). Построим последовательно отсутствующие проекции точек.

Рисунок 4.12. Построение точек на поверхности призмы

Рассмотрим задачу построения проекций точек, лежащих на поверхности прямой пирамиды (рис. 4.13). Пусть заданы фронтальная и горизонтальная проекции пирамиды SABC и проекции точек 1₂, 2₂, 3₂. Надо построить третью проекцию пирамиды и отсутствующие проекции точек 1, 2, 3.

Для построения профильной проекции пирамиды через вершину S проведем фронтальную плоскость уровня. Тогда ее горизонтальная Ф₁ и профильная Ф₃ проекции будут служить базовыми линиями взамен традиционных осей проекций ОХ и ОY. Точку S ₃ получаем по линиям связи на базовой линии. Затем определяем положение точек А ₃= С ₃ и В ₃, откладывая от базовой линии Ф₃ отрезки, равные расстояниям от А ₁, С ₁, В ₁ до Ф₁ соответственно. Соединив точки основания вершиной, получаем профильную проекцию пирамиды. Как видим, грань SAC на профильной плоскости проекций вырождается в линию S ₃ A ₃ (или S ₃ C ₃).

Решим вторую часть задачи – построение отсутствующих проекций точек. Последовательность решения ясна из рис. 4.13. Для определения положения недостающих проекций точек 1, 2 используем образующие пирамиды.

Рисунок 4.13. Построение точек на поверхности пирамиды

Однако для определения положения горизонтальной проекции 3₁ использовать образующую не представляется возможным, так как ребро SB, на котором лежит точка 3, в проекциях на П ₁, П ₂ дает вертикальную прямую (т.е. является профильной линией уровня). В этом случае используют линию, параллельную основанию.

Линию на поверхности многогранника можно построить по характерным точкам, которыми являются точки ее изгиба и точки перехода через ребра. При этом следует помнить, что ломаная линия на поверхности многогранника будет ломаной, состоящей из отрезков прямой, в любой плоскости проекций, а кривая – кривой (за исключением частных случаев).

Рассмотрим пример. По фронтальной проекции А ₂ В ₂ С ₂ D ₂ ломаной линии, лежащей на поверхности прямой шестигранной призмы (рис. 4.14), построить горизонтальную и профильную проекции.

Рисунок 4.14. Построение ломаной линии на поверхности призмы

Поскольку призма прямая и ее боковые ребра являются горизонтально-проецирующими линиями, то на П ₁ ее боковые грани вырождаются в отрезки прямой, составляющие ломаную линию (шестиугольник). Следовательно, горизонтальная проекция любой точки боковой поверхности призмы лежит на этом шестиугольнике, в том числе и точки линии А ₁ В ₁ С ₁ D _{1 .}.

Для построения профильной проекции А₃В₃С₃D₃ требуется найти промежуточные точки ломаной, лежащие на ребрах призмы. Это точки 1, 2, 3, 4, являющиеся также характерными. Аналогично строим точки В ₃, D ₃. Они лежат на том же ребре, т.к. грань, являющаяся фронтальной линией уровня, превращается на П ₃ в прямую. Точки А ₃, С ₃ получаем, откладывая от Ф₃ вправо по линии связи с А ₂, С ₂ расстояние, отмеренное от А ₁, С ₁ до Ф₁. Соединяя полученные точки, имеем решение в виде замкнутой ломаной А ₃1₃ В ₃2₃ С ₃4₃ D ₃3₃ А ₃. Заметим, если линия на поверхности многогранника замкнутая, то и все ее проекции замкнутые линии.

Рассмотрим задачу построения проекций точки и линии, лежащих на поверхности конуса (рис. 4.15).

Рисунок 4.15. Построение проекций точек и линии на поверхности конуса

Построим отсутствующие проекции точек А и В, расположенных на поверхности прямого кругового конуса, если известно положение А ₂ и В ₂. Для построения горизонтальной проекции точки А необходимо через ее фронтальную проекцию провести горизонтально линию. Тогда на П ₁ эта линия 12 представляет собой дугу окружности диаметром 1₂2₂=1₁2₁. По линии связи на ней находим А ₁. Аналогично, определяем положение на ней точки В ₁. По этим проекциям находим проекции А ₃, В ₃.

Дата добавления: 2015-10-02