Кривых поверхностей

В начертательной геометрии поверхность рассматривается как множество последовательных положений некоторой линии – образующей поверхности, перемещающейся в пространстве определенным образом по другой линии, которую называют направляющей.

Образующая поверхности в процессе движения может изменять свою форму. Одна и та же поверхность может быть образована перемещением различных линий.

Поверхности можно разбить на классы:

· плоскости;

· гранные поверхности;

· линейчатые поверхности;

· винтовые поверхности;

· циклические поверхности;

· поверхности вращения.

Плоскости. Плоскостью называется поверхность, полученная при движении прямой-образующей по прямой-направляющей.

Гранные поверхности. Гранной называется поверхность, полученная при движении прямой-образующей по ломаной линии (направляющей). Об этих поверхностях расскажем более подробно ниже.

Линейчатые поверхности. Линейчатой поверхностью называется поверхность, которая описывается какой-либо прямой (образующей) при ее движении в пространстве по какому-нибудь закону.

В общем случае линейчатая поверхность может быть получена движением прямой линии по трем направляющим (рис. 4.1). В самом деле, если выделить на линейчатой поверхности три какие-либо линии а, b и c и принять их за направляющие, то движение образующей l определится единственным образом.

Рисунок 4.1. Образование линейчатой поверхности

Построение какой-либо точки на линейчатой поверхности производят при помощи ее образующей, проходящей через эту точку В зависимости от вида направляющих линий и характера движения образующей получаются различные типы линейчатых поверхностей.

Линейчатые поверхности с одной направляющей. Коническая поверхность образуется движением прямой l (образующей) по некоторой кривой m (направляющей) и имеющей неподвижную точку S (вершину) (рис. 4.2, а).

Рисунок 4.2. Линейчатые поверхности с одной направляющей

Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой линии l (образующей) по некоторой кривой m (направляющей) и имеющей постоянное направление s (рис. 4.2,б).

Торс образуется движением прямолинейной образующей l, касающейся во всех своих положениях некоторой пространственной кривой m,называемой ребром возврата (рис. 4.2,в).

Линейчатые поверхности с двумя направляющими. Цилиндроид образуется движением прямолинейной образующей l по двум криволинейным направляющим а и b, причем во всех своих положениях образующая параллельна некоторой плоскости параллелизма S (рис. 4.3, а).

Рисунок 4.3. Линейчатые поверхности с двумя направляющими

Коноид образуется движением прямолинейной образующей l по двум направляющим, из которых одна является кривой линией а, а другая прямой b, причем во всех своих положениях образующая параллельна некоторой плоскости параллелизма S (рис. 4.3, б).

Косая плоскость образуется движением прямолинейной образующей l по двум скрещивающимся прямолинейным направляющим а и b, причем во всех своих положениях образующая параллельна некоторой плоскости параллелизма S (рис. 4.3, в).

Линейчатые поверхности с тремя направляющими. Однополостный гиперболоид образуется вращением прямолинейной образующей l по трем криволинейным направляющим а, b и c (рис. 4.4).

Винтовой поверхностью называется поверхность, которую образует некоторая линия, совершающая винтовое движение.

Винтовым движением называют такое сложное движение, которое является результатом двух одновременных движений: вращательного и поступательного. При этом вращение происходит вокруг оси винта i, а поступательное – вдоль оси i.

Если отношение скоростей этих движений есть величина постоянная, то образуется поверхность с постоянным шагом; в противном случае - с переменным шагом.

Ходом винтовой поверхности называется линейное перемещение Р образующей l за один оборот (рис. 4.4). Каждая точка образующей l описывает при ее движении винтовые линии m – направляющие поверхности.

Рисунок 4.4. Винтовые поверхности

Если образующей винтовой поверхности является прямая линия, то поверхность называется линейчатой винтовой поверхностью или геликоидом. Геликоид называется прямым или наклонным в зависимости от того, перпендикулярна образующая к оси геликоида или нет (рис. 4.3, 4.4).

Циклические поверхности. Циклической поверхностью называется поверхность, которая образовывается при произвольном движении окружности постоянного или переменного радиуса.

Различают два основных вида циклических поверхностей:

Каналовая поверхность образуется движением окружности m переменного радиуса, причем центр окружности О перемещается по заданной кривой l (направляющей), а ее плоскость остается перпендикулярной к этой кривой (рис. 4.5, а).

Трубчатая поверхность отличается от каналовой только тем, что образующая ее окружность m имеет постоянный радиус (рис. 4.5, б).

Рисунок 4.5. Циклические поверхности

Поверхности вращения. Поверхности вращения образуются при вращении некоторой произвольной линии вокруг оси. В этом случае образующей является указанная линия, а направляющей – замкнутая кривая 2-го порядка: эллипс или, чаще всего, окружность.

Пусть произвольная линия AGEB вращается вокруг оси i. Тогда она образует поверхность вращения (рис. 4.6).

Рисунок 4.6. Образование поверхности вращения

Линия пересечения поверхности вращения плоскостью, проходящей через ось i, называется меридианом (например A*G*E*B*). Меридиан, лежащий в плоскости, параллельной П ₂, называется главным. Линия пересечения поверхности вращения плоскостью, перпендикулярной оси i, называется параллелью. Таковыми являются направляющие, проходящие через точки АА *, ВВ *, ЕЕ *, GG *. Параллель, проходящая через наиболее удаленную от оси точку Е образующей, называется экватором, а через самую близкую точку G – горлом. Очевидно, что все параллели представляют собой окружности.

Форма поверхности вращения определяется формой образующей.

Поверхности вращения делятся на линейчатые, когда образующая – прямая и не линейчатые, когда образующая – кривая.

Линейчатые поверхности вращения. В зависимости от положения прямой образующей по отношению к оси вращения, линейчатые поверхности делятся на цилиндрическую, коническую и однополостный гиперболоид вращения.

Цилиндрическая поверхность образуется вращением вокруг оси прямой – образующей, параллельной оси вращения (рис. 4.7).

Коническая поверхность образуется вращением вокруг оси прямой – образующей, которая пересекает ось (рис. 4.8).

Рисунок 4.7. Цилиндрическая поверхность Рисунок 4.8. Коническая поверхность

Однополостный гиперболоид вращения образуется вращением прямой – образующей, скрещивающейся с осью вращения.

На рис. 4.9 построен однополостный гиперболоид вращения. Для построения этой поверхности изображено двенадцать положений образующей. Главным меридианом гиперболоида вращения будет гипербола.

Поэтому если гиперболу вращать вокруг оси, также получим гиперболоид вращения.

Рисунок 4.9. Однополостный гиперболоид вращения

Нелинейчатые поверхности вращения (криволинейные). В зависимости от формы образующей и положения оси вращения получается тот или иной вид поверхности вращения: сфера (рис. 4.10, а), тор (рис. 4.10, б), эллипсоид (рис. 4.10, в) и др.

Рисунок 4.10. Сфера, тор, эллипсоид

Гранные поверхности. Если образующей является прямая линия, а направляющей ломаная, получаем гранную поверхность. Когда образующая закреплена в одной точке, при движении по направляющей она вычерчивает пирамидальную поверхность (рис. 4.11, а). Если образующая перемещается параллельно какому-либо направлению, получаем призматическую поверхность (рис. 4.11, б).

а) б)

Рисунок 4.11. Образование гранных поверхностей

Ограничив призматическую поверхность двумя параллельными между собой плоскостями, пересекающими образующие, получаем призму. Ограничив пирамидальную поверхность одной плоскостью, будем иметь пирамиду. Тогда эти секущие плоскости называются основаниями многогранника, а образующие поверхности – боковыми поверхностями.

Дата добавления: 2015-10-02