Структура работы. 5 страница

Протокол взаимодействия, подходящий для подобного случая диалога был приведён в главе 2. Это протокол последовательных монотонных уступок. Использование протокола взаимодействия позволяет автоматизировать и упростить ведение переговоров, однако каждый раз для достижения цели придется проходить полный цикл переговоров.

Повысить эффективность переговоров можно путем внедрения специального алгоритма, анализирующего истории взаимодействия фирмы с поставщиками. Одним из наиболее удобных способов построения такого алгоритма является использование многозначной логики для моделирования процесса переговоров.

Переменными среды в данном случае будут товары и условия их поставки. Реакцией собеседников на конкретное предложение о поставке может быть либо согласие - T, либо отвержение - F, либо частичное согласие (выдвижение контрпредложения) - I. Получаем девятизначную логику {<T,T>,<T,I>,<T,F>,<I,T>,<I,I>,<I,F>,<F,T>,<F,I>,<F,F>} с выделенным значением <T,T>. На основании знаний, полученных собеседниками из истории взаимодействия или иных источников, можно делать априорные выводы о результате переговоров.

3.2.2. Произведения решёток и логик, бирешётки

При использовании многозначных логик с размерностью более 3 элементов [17,18], а именно такие логики наиболее удобны для описания ситуаций диалога, важную роль играет теория бирешёток, основанная на теории решёток [12,34], впервые предложенная Гинсбергом [144], развитая в работах Фиттинга [141,142,143] и Аврона [129]. Дадим некоторые определения.

Определение 3.1. Предбирешёткой называется структура (B, £_t, £_k), где £_t и £_k – частичные порядки на B, каждый из которых образует структуру алгебраической решетки (с точной верхней и нижней гранями).

Если (B, £_t, £_k) предбирешётка, то на ней можно определить операции Ú и Ù как взятие точной верхней и точной нижней граней на решетке (B, £_t), и Å, Ä как взятие точной верхней и нижней граней на решётке (B, £_k). Также обозначим как t и f наибольший и наименьший элементы решётки (B, £_t), а T и ^ наибольший и наименьший элементы решётки (B, £_k).

Определение 3.2. Пусть (B, £_t, £_k) предбирешётка. На ней определена операция отрицания, если существует отображение Ø: B ® B, такое что:

x £_t y Þ Øy £_t Øx,

x £_k y Þ Øx £_k Øy,

ØØx = x.

Определение 3.3. Пусть (B, £_t, £_k) предбирешётка. На ней определена операция слияния, если существует отображение -: B ® B, такое что:

x £_t y Þ -x £_t -y,

x £_k y Þ -y £_k -x,

- -x = x.

Определение 3.4. Предбирёшетка с отрицанием (B, £_t, £_k, Ø) называется бирешёткой.

Определение 3.5. Бирешётка (B, £_t, £_k) является дистрибутивной, если все операции Ú, Ù, Å и Ä дистрибутивны друг относительно друга.

Определение 3.6. Бирешётка (B, £_t, £_k) является сплетенной бирешёткой, если все операции Ú, Ù, Å и Ä монотонны относительно порядков £_t, £_k

Каждая дистрибутивная бирешётка является сплетённой [174].

Определение 3.7. Пусть (L₁, £₁) и (L₂, £₂) – решетки. Тогда L₁·L₂ есть бирешётка вида (L₁ x L₂, £_t, £_k), где:

<x₁,x₂> £_t <y₁,y₂> Û x₁ £₁ y₁ и y₂ £₂ x₂,

<x₁,x₂> £_k <y₁,y₂> Û x₁ £₁ y₁ и x₂ £₂ y₂,

Очевидно, бирешётка L₁·L₂ всегда является сплетённой, а если L₁ и L₂ дистрибутивны, то и L₁·L₂ также дистрибутивна. Операции Ú, Ù, Å, Ä на L₁·L₂ определяются следующим образом:

<x₁,x₂>Ù<y₁,y₂> = < x₁Ùy₁, x₂Úy₂>

<x₁,x₂>Ú<y₁,y₂> = < x₁Úy₁, x₂Ùy₂>

<x₁,x₂>Ä<y₁,y₂> = < x₁Ùy₁, x₂Ùy₂>

<x₁,x₂>Å<y₁,y₂> = < x₁Úy₁, x₂Úy₂>

Определение 3.8. Бирешётка является билинейной, если любые ее два элемента сравнимы по крайней мере по одному из ее порядков.

Для класса билинейных бирешёток в [120] доказано, что любая эквивалентность формул имеет место также и в четырёхзначной решётке Белнапа, т.е. любая логика операций Ú, Ù, Å, Ä, Ø на такой бирешётке сводима к логике Белнапа.

Определение 3.9. Бифильтром бирешётки B является непустое множество F Ì B, такое что:

a Ù b Î F если a Î F и b Î F

a Ä b Î F если a Î F и b Î F

Определение 3.10. Бифильтр называется первичным, если также удовлетворяются следующие условия:

a Ú b Î F если a Î F и b Î F

a Å b Î F если a Î F и b Î F

Определение 3.11. Логической бирешёткой называется пара (B, F), где B – бирешётка, а F – первичный бифильтр.

Наименьшей логической бирешёткой является логика Белнапа (FOUR, {t,T}), кроме того, согласно [120] каждая дистрибутивная бирешётка может быть превращена в логическую бирешётку.

В логической бирешётке (B, F) означивание v на B, есть функция, задающая истинностное значение каждой атомарной формуле, означивание не атомарных формул происходит стандартным образом, вычислением значения. Означивание v выполняет формулу j (v |= j), если v(j) Î F. Означивание, выполняющее каждую формулу в заданном наборе формул F, называется моделью F, набор всех моделей F обозначается mod(F).

Операция материальной импликации p|®q, определённая как ØpÚq, не является удобной для описания вывода, в [120] вводится следующая операция импликации:

Определение 3.12. Пусть (B, F) – логическая бирешётка. Определим:

a É b = b, если a Î F,

t, в противном случае.

Определение 3.13. Сильная импликация и эквиваленция определяются следующим образом:

y ® j = (y É j) Ù (Øj É Øy)

y «j = (y ® j) Ù (j ® y)

Для бирешёток получено множество интересных результатов, в частности в [122] доказано, что вывод в любых логических бирешётках с операциями {Ú, Ù, Å, Ä, Ø } сводим к выводу на четырёхзначной бирешётке. Мы будем пользоваться в дальнейшем отдельными определениями и результатами, полученными в теории бирешёток, однако бирешётки не полностью отвечаю требованиям, налагаемым на диалоговые решётки, в частности, требованию кооперативности.

3.3. Базовые логики для описания диалогов между агентами

3.3.1. Минимальнозначная логика диалога

Как известно, семантика логики вопросов и ответов Белнапа иллюстрируется с помощью логической решетки L4, задающей порядок истинности £_V, а семантика логики Фитинга – с помощью аппроксимационной решетки Скотта A4, порядок которой отождествляется с порядком знаний £_К. В [100] были введены модальные решетки M4 и М¢4, опирающиеся на порядок уверенности (необходимости) и порядок предположения (возможности). Ниже по аналогии введем понятия диалоговой решетки и двойственной ей решетки диспута (или конкурентной решетки).

Вначале построим минимальнозначную диалоговую логику L_dmin на основе произведений двузначных логик двух агентов 1 и 2 – участников диалога. Множество логических значений можно представить графически в виде диалоговой решетки D4, представленной следующей диаграммой Хассе (рис 3.1).

<F₁,T₂>

<T₁,F₂>

<T₁,T₂>

T₁

F₁

T₂

F₂

´

=

D4

<F₁,F₂>

Рис. 3.1. Диаграмма Хассе для диалоговой решётки D4.

Четырёхзначная семантика диалога L_dmin строится как произведение семантик агентов – участников диалога. Интерпретация полученных истинностных значений интуитивно вполне понятна: <F₁,F₂> – «ложь для обоих агентов», <T₁,F₂> – «истина для первого агента, ложь для второго», <F₁,T₂> – «ложь для первого агента, истина для второго», <Т₁,T₂> – «истина для обоих агентов». Здесь пары <F₁,F₂>, <T₁,T₂> можно понимать как точки согласия, а пары <T₁,F₂>, <F₁,T₂> как точки противоречия.

Если цель диалога формулируется как достижение соглашения, то соответствующее отношение порядка можно понимать как порядок cоглашения £_С. Например, <F₁,F₂> £_С <T₁,F₂> £_С <Т₁,T₂> означает, что ситуация «истина для обоих агентов», равнозначная наличию соглашения между ними, будет предпочтительнее ситуации «истина одного агента – ложь другого», когда соглашения между агентами нет, но оно считается возможным. Последняя ситуация предпочтительнее, чем «ложь для обоих агентов», которая здесь отождествляется с невозможностью заключения соглашения (или отказом от него). Итак, в логике соглашения выделенным значением является <Т₁,T₂> = T (cм. таблицу 3.1).

Таблица 3.1. Истинностные значения четырёхзначной диалоговой логики

Значение в бирешетке D4	Обозначение	Интерпретация
<T1,T2>	T	Подтвержденная (согласованная) истина
<T1,F2>	I	Внутренняя истина (истина для первого агента)
<F1,T2>	E	Внешняя истина (истина для второго агента)
<F1,F2>	F	Подтвержденная ложь

Данная логика предназначена для согласования мнений агентов в процессе диалога, т.е. соответствует диалогам убеждения.

В свою очередь, повернув диалоговую решётку D4 по часовой стрелке на 90 градусов, получаем решётку диспута (спора) K4 с отношением порядка £_G (порядок выигрыша). Здесь можно использовать аргументационную семантику, например, T – «аргумент найден», а F – «возражение не найдено». При этом <T₁,F₂> интерпретируется как победа в споре первого агента и поражение второго, поскольку первый агент нашел неопровержимый аргумент, <F₁,T₂> – как обратная ситуация, <Т₁,T₂> – как ничья (аргументы обоих агентов взаимно опровергаемы), а <F₁,F₂> – как отказ от спора. Тогда, например, имеем <F₁,T₂> £_G <F₁,F₂> £_G,<T₁,F₂>, т.е. в логике диспута K₄ значение <T₁,F₂> следует брать в качестве выделенного значения.

<T₁,T₂>

<F₁,F₂>

<T₁,F₂>

<F₁,T₂>

<F₁,T₂>

<T₁,F₂>

<T₁,T₂>

<F₁,F₂>

D4

K4

Рис. 3.2. Переход от диалоговой решётки D4 к решётке диспута K4

На основе решёток D4 и K4 легко построить диалоговую бирешётку. Пусть áV, £_С,£_G ñ – биупорядоченное множество. В случае, когда его компоненты áV, £_Сñ и áV,£_G ñ образуют полные решетки, биупорядоченное множество превращается в предбирешётку. Наконец, получаем диалоговую бирешётку, когда два различных отношения порядка связаны между собой с помощью специальной операции операции отрицания ₂, удовлетворяющей условиям:

"v₁,v₂ÎV, v₁£_Сv₂ Þ ₂ v₂£_{С 2} v₁; (3.1)

"v₁,v₂ÎV, v₁£_Gv₂ Þ ₂ v₁£_{G 2} v₂; (3.2)

"vÎV, ₂₂ v=v. (3.3)

Рассмотрим операции логики L_dmin. Общее количество возможных унарных операций в логике L_dmin равно 4⁴=256, бинарных (4⁴)²=65536. Если предположить, что T соответствует бинарной истине, а F - бинарной лжи, то можно определить консервативное отрицание. Унарная операция n является операцией консервативного отрицания в том случае, если n (T)=F, а n (F) = (T). Таких операций 16. Инверсивным отрицанием назовем такую унарную операцию n, которая меняет порядок истинности: x ≥₁ y Þ n(y) ≥₁ n(x), таких отрицаний насчитывается 36, из них 32 консервативных. Если же требовать x >₁ y Þ n(y) >₁ n(x), то есть строгой инверсивности, то таких отрицаний будет всего 12 (из них все консервативные). Отрицание n является биективным, если существует обратная операция n^-1, такая что n(n^-1(x))=n^-1(n(x))=x. Если n^-1=n, то такое отрицание назовем классическим (выполняется закон снятия двойного отрицания).

Однако наибольший интерес с точки зрения интерпретации вызывают, по мнению автора, следующие классические отрицания.

Таблица 3.2. Отрицания в логике L_dmin

x	ù1 x	Ø2 x	Ø3 x	é4 x	é5 x
T	F	T	F	E	I
I	E	E	I	F	T
E	I	I	E	T	F
F	T	F	T	I	E

Первое отрицание ù₁ x, являющеесяпримером составного, однородного, консервативного отрицания,представляет собой обращение (инверсию) обоих базовых порядков £_Си£_G. Так отрицание по порядку £_С показывает, что противоположностью соглашения между агентами T является невозможность его заключения F, тогда как отрицание по порядку £_G означает конверсию – смену ролей агентов (пропонент превращается в оппонента, первоначальный победитель оказывается побежденным и т.п.).

Следующие два отрицания являются примерами составных неоднородных отрицаний. Так второе отрицание ₂, совпадающее по форме с отрицанием Фиттинга, сохраняет порядок соглашения £_С, но инвертирует порядок диспута £_G (показывая, например, смену ролей агентов). Подобная конверсия может применяться при рефлексивных рассуждениях.

В свою очередь, третье отрицание ₃, котороеинвертирует порядок соглашения £_С, но сохраняет порядок диспута £_G, аналогично отрицанию Белнапа: противоположностью соглашения оказывается отказ от него (свойство консервативности), в то время как порядок диспута не меняется. По сути, в данном случае диалог агентов «заходит в тупик».

Операции отрицания позволяют естествнным образом представить возражения агентов друг другу. Так четвёртое отрицание é₄ семантически соответствует возражению оппонента пропоненту (внутреннее возражение в случае рефлексивных рассуждений), а пятое отрицание é₅. – возражению пропонента оппоненту. В совокупности отрицания é₄ и é₅ формируют операцию циклического отрицания.

Рассмотрим свойства введённых операций:

ù₁ù₁ х = ₂₂ х = ₃₃ х = é₄ é₄ х = é₅ é₅ х = х (3.4)

ù₁ х = é₄ é₅ х (3.5)

é₄ х = ₂ é_{5 2} х, é₅ х = ₂ é_{4 2} х (3.6)

ù₁₂ х = ₂ù₁ х, ù₁é₄ х = é₄ù₁ х, ù₁é₅ х = é₅ù₁ х, é₄é₅ х = é₅é₄ х, (3.7)

Обратим внимание на то, что отрицания ₂ и é_{4, 2} и é_{5, 3} и é_4, а также ₃ и é₅ не перестановочны, т.е.

₂é₄ х ¹ é₄₂ х, ₂é₅ х ¹ é₅₂ х, ₃é₄ х ¹ é₄₃ х, ₃é₅ х ¹ é₅₃ х, (3.8)

Лемма 3.1 Композиция унарных операций отрицания { é₄, é₅ } и любой нульарной (константной) операции DÎ{F,E,I,T}позволяют построить любую нульарную функцию над L_dmin.

Доказательство. Рассмотрим два произвольных значения x, y Î L_dmin.

Пусть x = (x₁,x₂), y = (y₁,y₂). Требуется доказать, что существует последовательность é_i1é _i2…é _iN, такая что é_i1é _i2…é _iN x = y. Рассмотрим 4 случая:

x₁ = y₁ и x₂ = y₂, тогда x = y

x₁ ¹ y₁ и x₂ = y₂, тогда é₄ x = y

x₁ ¹ y₁ и x₂ ¹ y₂, тогда é₄é₅ x = y

x₁ = y₁ и x₂ ¹ y₂, тогда é₅ x = y.

Если при произвольном D=x мы получаем любой требуемый нам у, т.е. произвольную нульарную функцию. Лемма доказана.

Другие подобные системы операций вытекают из соотношений (3.5), (3.6). Этими системами отрицаний являются: {D, ₂, é₄ }, {D, ₂, é₅ }, {D, ₃, é₄ }, {D, ₃, é₅ }, {D, ₁, é₄ }, {D, ₁, é₅ }. Системы {D, ù₁, ₂ }, {D, ù₁, ₃ } и {D, ₂, ₃ } не являются полными, так как в силу своей рефлексивной симметричности, операции ù₁, ₂ и ₃ не могут превратить точку согласия в точку противоречия и наоборот. Очевидно, что ни одна из операций é₃ é₄ также не может являться достаточной, поэтому { é₄, é₅ }, { ₂, é₄ }, { ₂, é₅ }, { ₃, é₄ }, { ₃, é₅ }, { ù₁, é₄ }, { ù₁, é₅ } минимальные системы отрицаний.

Рассмотрим теперь правила композиции. Логические операции «или» и «и» определим, как взятие наименьшей верхней и наибольшей нижней грани частичных порядков £_С и £_G.

Таблица 3.3. Истинностная конъюнкция в логике L_dmin

xÙ1y	T	I	E	F
T	T	I	E	F
I	I	I	F	F
E	E	F	E	F
F	F	F	F	F

Таблица 3.4. Истинностная дизъюнкция в логике L_dmin

xÚ1y	T	I	E	F
T	T	T	T	T
I	T	I	T	I
E	T	T	E	E
F	T	I	E	F

Таблица 3.5. Спорная конъюнкция в логике L_dmin

xÙ2y	T	I	E	F
T	T	T	E	E
I	T	I	E	F
E	E	E	E	E
F	E	F	E	F

Таблица 3.6. Спорная дизъюнкция в логике L_dmin

xÚ2y	T	I	E	F
T	T	I	T	I
I	I	I	I	I
E	T	I	E	F
F	I	I	F	F

Так как введённые операции являются операциями взятия наибольшей нижней и наименьшей верхней граней бирешётки, то они коммутативны, идемпотентны, ассоциативны, дистрибутивны:

x Ú₁ y = y Ú₁ x, x Ú₂ y = y Ú₂ x, x Ù₁ y = y Ù₁ x, x Ù₂ y = y Ù₂ x, (3.9)

x Ú₁ x = x, x Ú₂ x= x, x Ù₁ x = x, x Ù₂ x = x, (3.10)

(x Ú₁ y) Ú₁ z = x Ú₁ (y Ú₁ z), (x Ú₂ y) Ú₂ z = x Ú₂ (y Ú₂ z),

(x Ù₁ y) Ù₁ z = x Ù₁ (y Ù₁ z), (x Ù₂ y) Ù₂ z = x Ù₂ (y Ù₂ z), (3.11)

(x Ú₁ y) Ù₁ z = (x Ú₁ z) Ù₁ (y Ú₁ z), (x Ù₁ y) Ú₁ z = (x Ù₁ z) Ú₁ (y Ù₁ z),

(x Ú₂ y) Ù₂ z = (x Ú₂ z) Ù₂ (y Ú₂ z), (x Ù₂ y) Ú₂ z = (x Ù₂ z) Ú₂ (y Ù₂ z), (3.12)

Проверим законы Де Моргана для различных наборов логических связок. Для истинностного отрицания ù₁ правила Де Моргана срабатывают всегда, для рефлексивного отрицания ₂ эти законы работают только для спорных связок (Ù₂ и Ú₂), иными словами выполняются следующие соотношения:

ù₁ (x Ú₁ y) = ù₁ y Ù₁ù₁ x, ù₁ (x Ù₁ y) = ù₁ y Ú₁ù₁ x

Дата добавления: 2015-09-04