Сформулировать теоремы о пределах суммы, произведения, частного, о предельном переходе в неравенстве.

Теорема 4.3.1.

Пусть lim_x˃x0 f(x)=A, lim _x˃x0 g(x)=B, тогда lim _x˃x0 (f(x)±g(x))=A±B

Док-во:Т.к. lim_x˃x0 f(x)=A, lim _x˃x0 g(x)=B то по св-ву 1 š2 f(x)=A+α(x), g(x)=B+β(x), где α(x),β(x)-б.м.

f(x)±g(x)=(A+ α(x)) ±(B+ β(x))=(A±B)+(α(x)± β(x))

A±B=const

α(x)±β(x)-б.м. по св-ву 1 š2

По св-ву 1 š2 lim _x˃x0 (f(x)±g(x))=A±B док-во закончено=)

Теорема 4.3.2.

Пусть lim_x˃x0 f(x)=A, lim _x˃x0 g(x)=B→ lim _x˃x0 (f(x)g(x))=AB

Док-во: Т.к. lim_x˃x0 f(x)=A, lim _x˃x0 g(x)=B то по св-ву 1 š2 f(x)=A+α(x), g(x)=B+β(x), где α(x),β(x)-б.м.

f(x)g(x)=(A+ α(x)) (B+ β(x))= AB+ Bα(x)± Aβ(x)+ α(x) β(x) AB=const

Bα(x), Aβ(x) α(x), β(x)-б.м. по св-ву 5,6 š2

Bα(x)± Aβ(x)+ α(x) β(x)-б.м. по св-ву 2 š2

По св-ву 1 š2 lim _x˃x0 (f(x)g(x))=AB док-во закончено=))

Следствие:Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Теорема 4.3.3.

lim_x˃x0 f(x)=A, lim _x˃x0 g(x)=B→ lim _{x˃x0 =} (B

Пример: lim _{x˃1 = =1}

Теорема 4.3.4.Теорема о предельном переходе в неравенства

Пусть а(ч)бр(ч)бп(ч)-опред. В некоторые окрестности точки x0,за исключением самой x0.

lim _x˃x0f(x)= lim _x˃x0g(x)=A, f(x) h(x) g(x) )= lim _x˃x0h(x)=A

9. 1 -й и 2-й замечательные пределы.

Первый замечательный предел: lim sinx/x=1 (х→0)

Второй замечательный предел: lim (1+1/х)^х=е (х→∞), lim (1+х)^1/х=е (х→0)

Дата добавления: 2015-09-02