Читайте также:
|
|
Итак, оценим погрешность формулы (2.1) в какой-нибудь точке ХÎ[a,b], т.е. будем оценивать R(X),где R(x)=f(x)-Pn(x)
Обозначим многочлен степени (n+1) с корнями в узлах интерполирования через w(x):
и введем вспомогательную функцию: F(x)=f(x)-Pn(x)-b w(x) (2.2)
При этом коэффициент b в формуле (2.2) мы выберем так, чтобы выполнялось условие
F(X)=0, т.е. f(X)-Pn(X)=b w(X) или R(X)=b w(X) (2.3).
Мы можем без ограничений общности считать, что точка Х не совпадает ни с одним из узлов Хi, поскольку в них погрешность равна 0. В этом случае вспомогательная функция обращается в нуль не менее (n+2) раз на отрезке [a,b]: в точке X и в узлах интерполяции, т.к. w(Xi)=0 и f(Xi)= Pn(Xi).
Используем теорему Ролля, которая утверждает, что между любыми двумя нулями дифференцируемой функции найдется нуль производной, видим, что первая производная F'(x) должна обращаться в нуль на отрезке [a,b] не менее (n+1) раз.
Аналогично, вторая производная F''(x) обращается в нуль не менее n-раз на отрезке [a,b] и т.д.
Рассуждая подобным образом, мы установим, что функция F(n+1)(x) обязательно обращается в нуль хотя бы один раз на отрезке [a, b].
Пусть F(n+1)(d)=0. Дифференцируя формулу (2.2) (n+1) раз, получаем:
F(n+1)(x)=f(n+1)(x)-0-b(n+1)!
откуда легко видеть, что:
f(n+1)(d)=b(n+1)!, или b=f(n+1) (d)/(n+1)!
Подставляя полученное выражение в (2.3), видим:
R(x)=f(n+1)(d)w(x)/(n+1)!,
откуда уже легко произвести нужную оценку
(2.4)
справедливую для всех точек отрезка [a,b].
Упражнения: Пользуясь формулой (2.4) произвести оценку точности интерполяции при Х=1.5 в условиях:
2.4. Упражнения (2.2) и предположения M3 < 10 на [1,3]
2.5. Упражнения (2.3) и предположения M4 < 16 на [-1,2]
Преимущество данного метода наглядно проявляется при малом количестве узлов и достаточно гладкой функции. Вычисления на ЭВМ здесь организуются сравнительно просто.
Упражнение 2.6. Составить программу на одном из языков для вычисления значения интерполяционного многочлена в форме Лагранжа (формула(2.1)).
Упражнение 2.7. Дополнить предыдущую программу таким образом, чтобы в случае, когда известен максимум (n+1)-ой производной исходной функции, вычислялась оценка погрешности.
Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 59 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Построение многочлена Лагранжа. | | | Сплайн-интерполяции. |