Сравнение средних значений.

Сравнение средних при известных дисперсиях. Сравнение средних при неизвестной дисперсии. Проверка гипотезы о равенстве средних значений.

Целью эксперимента нередко бывает выявление различий между значениями определенного параметра в разных объектах исследования. Например, при создания нового материала (или прибора) может быть обнаружено, что значение какого-либо его параметра отличается от значений того же параметра у ранее созданного материала (или прибора), но отличие незначительно; при этом возникает подозрение, не вызвано ли это отличие лишь

случайными ошибками эксперимента. Аналогичный вопрос возникает в промышленности, когда в разных условиях (например, на разном оборудовании или при разной технологии) изготовляются изделия с одними и теми же заданными номинальными значениями какого-либо параметра, а проверка обнаруживает расхождение между средними значениями этих параметров; здесь важно выяснить, имеем ли мы дело с различным качеством изделий или со случайными отклонениями.

Для выяснения вопроса о случайном или неслучайном расхождении значений некоторого параметра х проводят две серии экспериментов (измерений) и для каждой из них подсчитывают среднее значение параметра, скажем, и . Вопрос сводится к тому, когда считать разность между этими средними достаточно большой для того, чтобы иметь практическую уверенность в неслучайном происхождении обнаруженных различий.

Ниже излагается решение этого вопроса в терминах результатов измерений. Измерения предполагаются независимыми и, по крайней мере, в пределах каждой серии, равноточными; распределение ошибок измерения предполагается нормальным.

Сравнение средних при известных дисперсиях. Пусть произведено n₁, независимых равноточных измерений в первой серии и п₂ - во второй, причем заранее известны дисперсии ошибок в первой и во второй сериях ( и | соответственно). Средние значения результатов измерений в первой и во второй сериях обозначим соответственно через и . Для решения вопроса о случайном или неслучайном расхождении этих средних значений подсчитываем отношение

, (1)

Далее задаем желаемую вероятность вывода и по ней находим (прилож, стр. 172) соответствующее значение t ( (например, при = 0,99 находим t = 2,576).

Если абсолютная величина отношения (1) превосходит найденное значение t (), то расхождение средних значений можно считать неслучайным (значимым) с надежностью вывода . В противном случае нет оснований считать расхождение значимым (т. е. оно может быть объяснено случайными отклонениями).

На практике иногда поступают следующим образом. Подсчитав отношение (1), находят по табл. ближайшее к нему меньшее значение t (). Тогда вывод о значимости расхождения средних значений имеет надежность . Если эта надежность достаточна, то указанный вывод принимается, в противном случае — отбрасывается. Если надежность вывода недостаточна, а сомнение в неслучайности расхождения средних осталось, то может оказаться целесообразным увеличить число измерений в каждой серии для более надежного решения вопроса.

Если дисперсии ошибок для обеих серий измерений одинаковы: = σ², то отношение (1) сводится к

, (2)

Сравнение средних при неизвестной дисперсии. Если дисперсии ошибок заранее не известны, то сравнение средних производится только при добавочном предположении, что дисперсии ошибок в обеих сериях измерений одинаковы (это предположение либо принимается без проверки, например, когда две серии измерений производятся одним и тем же прибором, Пусть с одной и той же точностью произведены две серии независимых измерений, причем п₁ измерений в первой серии дали среднее значение и эмпирическую где и п₂ измерений во второй серии дали соответственно и . Для решения вопроса о случайном или неслучайном расхождении средних значений подсчитываем отношение

, (3)

где

, (4)

Далее задаем желаемую вероятность вывода и в (приложение, стр. 174) находим значение t ( k), соответствующее заданной вероятности и числу степеней свободы k = n₁ + n₂ - 2.

Если абсолютная величина отношения (3) превосходит найденное значение t (; k), то расхождение средних значений можно считать неслучайным (значимым) с надежностью вывода . В противном случае нет оснований считать расхождение значимым.

Заметим, что если отношение (3) оказывается лишь немного меньшим значения t (; k) при заданной вероятности , то может быть целесообразным увеличить число измерений для получения более надежного вывода (тем более, что значения t ( k) уменьшаются с увеличением k).

Величина определяемая по формуле, (4), служит оценкой неизвестной дисперсии s². Ее можно представить также через средние квадратические отклонения от средних значений

= ,

А именно

, (5)

Проверка гипотезы о равенстве средних значений. Методы сравнения средних значений можно применять и для решения задачи проверки гипотезы о равенстве средних. Задача эта ставится следующим образом. Имеются две совокупности элементов, различающихся некоторым признаком х. Считается установленным (или проверенным заранее), что распределения признака в обеих совокупностях достаточно хорошо описываются общими нормальными распределениями вероятностей с одинаковой дисперсией σ² (она может быть и неизвестной). Проверяется гипотеза о равенстве центров этих нормальных распределений (что вместе с уже принятыми предположениями означает теперь полное совпадение законов распределения). Проверяемая гипотеза обычно называется нуль-гипотезой. Для ее проверки из каждой совокупности берут случайную выборку, т. е. случайным образом (как в лотерее) отбирают некоторое количество элементов. Пусть количество отобранных элементов (объем, выборки) из первой совокупности есть n₁ а из второй — n₂. Подсчитываем средние значения признака в каждой выборке, пусть эти средние равны и . Если дисперсия σ² неизвестна, то подсчитываем еще и эмпирические дисперсии и .

В предположении, что нуль-гипотеза верна, отношения (2) и (3) представляют собой случайные величины с вполне определенными законами распределения. Поэтому, задавая желаемую вероятность вывода (например 0,99), мы можем найти симметричный интервал (- ), вероятность попадания в который равна Другими словами, при справедливости всех высказанных выше предположений и нуль-гипотезы отношение (2) или (3) может попасть в интервал(- ) случайно с вероятностью Точки, лежащие вне этого интервала, образуют критическую область (заштрихованную на рис.),

вероятность попадания в которую составляет 1 - . Значения = t( (при известной дисперсии) или = t( (при неизвестной дисперсии), определяющие границы указанной доверительной области, называются критиче­скими; именно эти значения приведены в (приложение, стр. 172 и 174).

Если отношение (2) или (3), подсчитанное по значениям признака в выборках, попадет в критическую область (т. е. если абсолютная величина соответствующего отношения превзойдет критическое значение из табл. II или табл. IV), то нуль-гипотезу отвергают с надежностью , т. е. считают, что результаты эксперимента противоречат нуль-гипотезе. В противном случае нуль-гипотезу принимают, т. е. считают, что результаты эксперимента не противоречат нуль-гипотезе (но, разумеется, не могут служить и доказательством этой гипотезы).

Заметим, что мы выбрали симметричный интервал (- ) и, значит, симметричную критическую область в связи с симметрией распределения отношений (2) и (3) относительно нуля. Возможен выбор и несимметричных критических областей, например, в задачах, где проверяемая гипотеза a₁ = a₂ конкурирует с гипотезой а₁ > а₂ (а₁ и а₂ - центры соответствующих распределений).

Дата добавления: 2015-08-20