Лекция 3

Методы исключения грубых ошибок. Метод исключения при известной σ. Метод исключения при неизвестной σ.

При получении результата измерения, резко отличающегося от всех других результатов, естественно возникает подозрение, что допущена грубая ошибка. В этом случае необходимо сразу же проверить, не нарушены ли основные условия измерения.

Если же такая проверка не была сделана вовремя, то вопрос о целесообразности браковки одного «выскакивающего» значения решается путем сравнения его с остальными результатами измерения. При этом применяются различные критерии, в зависимости от того, известна или нет средняя квадратическая ошибка σ измерений (предполагается, что все измерения производятся с одной и той же точностью и независимо друг от друга).

Метод исключения при известной σ. Обозначим «выскакивающее» значение через х_* а все остальные результаты измерения через х₁ х₂, …х_п. Подсчитаем среднее арифметическое значение

и сравним абсолютную величину разности х_* с величиной Для полученного отношения

, (1)

подсчитаем вероятность 1—2Ф(t) с помощью (Приложение, стр. 172). Это даст вероятность того, что рассматриваемое отношение случайно примет значение, не меньшее чем t, при условии, что значение х_* не содержит грубой ошибки (что ошибка результата х_* только случайна). Если подсчитанная указанным образом вероятность окажется очень малой, то «выскакивающее» значение содержит грубую ошибку и его следует исключить из дальнейшей обработки результатов измерений.

Какую именно вероятность считать очень малой, зависит от конкретных условий решаемой задачи: если назначить слишком низкий уровень малых вероятностей, то грубые ошибки могут остаться, если же взять этот уровень неоправданно большим, то можно исключить результаты со случайными ошибками, необходимые для правильной обработки результатов измерения. Обычно применяют один из трех уровней малых вероятностей:

5 % - уровень (исключаются ошибки, вероятность появления которых меньше 0,05);

1 % уровень (исключаются ошибки, вероятность появления которых меньше 0,01);

0,1% уровень (исключаются ошибки, вероятность появления которых меньше 0,001).

При выбранном уровне α малых вероятностей «выскакивающее» значение х_* считают содержащим грубую ошибку, если для соответствующего отношения t (1) вероятность 1 - 2Ф(t) < α. Чтобы подчеркнуть вероятностный характер этого заключения, говорят, что значение Х_* содержит грубую ошибку с надежностью вывода 1 - α. Значение t = t(), для которого 1- 2Ф(t) = α и, значит, 2Ф(t) = , называется критическим значением отношения (1) при надежности . Так, если α = 0,01 (1% уровень), то = 0,99, критическое значение t = t() = 2,576 (прилож II), и как только отношение (1) превзойдет это критическое значение, мы можем браковать «выскакивающее» значение х_* с надежностью вывода 0,99.

Пример. Пусть среди 41 результата независимых измерений, произведенных со средней квадратической ошибкой α = 0,133, обнаружено одно «выскакивающее» значение х_* = 6,866, в то время как среднее из остальных 40 результатов составляет = 6,500, Можно ли считать, что «выскакивающее» значение содержит грубую ошибку, и исключить его из дальнейшей обработки?

Решение. Разность между «выскакивающим» значением и средним составляет x_* - = 0,366, поэтому отношение (1) равно

= 2.72

По (прилож. II) для t = 2,72 оцениваем вероятность 1 --2Ф (t) = 0,0066

< 0,007. Следовательно, с надежностью вывода > 0,993 можно считать, что значение содержит грубую ошибку, и исключить это значение из дальнейшей обработки результатов измерения.

Подчеркнем, что указанный прием применяется только тогда, когда величина о средней квадратической ошибки точно известна заранее.

Метод исключения при неизвестной σ. Если величина σ заранее неизвестна, то она оценивается приближенно по результатам измерений, т. е. вместо нее применяют эмпирический стандарт

, (2)

При этом абсолютную величину разности между «выскакивающим» значением x_* и средним значением остальных (приемлемых) результатов делят на эмпирический стандарт и полученное отношение

t = s (2)

сравнивают с критическими значениями t_n() из (прилож. стр. 173). Если при данном числе n приемлемых результатов отношение (2) оказывается между двумя критическими значениями при надежностях и ( то с надежностью вывода, большей можно считать, что «выскакивающее» значение содержит грубую ошибку, и: исключить его из дальнейшей обработки ре­зультатов.

Заметим, что если надежность вывода окажется недостаточной, то это свидетельствует не об отсутствии грубой ошибки, а лишь об отсутствии достаточных оснований для исключения «выскакивающего» значения.

Пример. Пусть для п результатов независимых равноточных измерений некоторой величины среднее значение равно x_* = 6,500, а эмпирический стандарт s = 0,133, и пусть (n + 1)-е измерение дало результат x_* = 6,866. Можно ли исключить этот результат из дальнейшей обработки?

Решение. Здесь отношение (2) равно t = 0,366/0,133 = 2,75. Если число приемлемых результатов n == 40, то полученное отношение превосходит критическое значение 2,742 при надежности = 0,99 и значение x_*можно исключить с надежностью вывода, большей 0,99. Если же число приемлемых результатов п = 6, то полученное отношение меньше критического значения 2,78 даже при надежности =0,95 и значение x_*, исключать не следует.

Дата добавления: 2015-08-20