Дробно-линейная функция

Линейная функция является частным случаем функции вида:

(2.2.1)

где – комплексные число, при чем .

Функции вида (2.2.1) называются дробно-рациональными.

Дробно-линейную функцию можно распространять на всю расширенную комплексную плоскость.

Так как , то точка переходит при этом отображении в , а точка в .

Рассмотрим основные свойство дробно-линейных отображений.

1. Конформность.

Дробно линейная функция конформно отображает расширенную комплексную плоскость на расширенную комплексную плоскость.

Очевидно, что функция (2.2.1) регулярна во всей расширенной комплексной плоскость, за исключением точки – полюса первого порядка. Решая уравнение (2.2.1) относительно , находим функцию

(2.2.2)

() обратную к функции (2.2.1).

Функция (2.2.2) однозначна на всей расширенной комплексной плоскости и так же дробно-линейной. Следовательно, дробно-линейная функция однолистна в расширенной комплексной плоскости.

2. Групповое свойство.

Совокупность дробно-линейных отображений образует группу, т.е.

1)суперпозиция дробно-линейных отображений является дробно-линейным отображением.

2) Отображение, обратное к дробно-линейному, так же является дробно-линейным.

Докажем первое свойство. Пусть

(2.2.3)

(2.2.4)

Подставляя (2.2.3) в (2.2.4) получаем:

где

.

Второе свойство доказано в предыдущем пункте.

2. Круговое свойство.

При дробно-линейном отображении образом любой окружности или прямой является окружность или прямая.

Докажем это свойство. Сначала рассмотрим линейное отображение . Это отображение сводится к подобию, повороту и переносу (пункт 1). Следовательно, линейное отображение переводит окружности в окружности, а прямые – в прямые.

В случае, когда дробно-линейная функция не является линейной , представим её в виде

, (2.2.5)

где . Тогда отображение (2.2.5) сводится к последовательному выполнению следующих отображений:

(2.2.6)

Первое и третье отображения (2.2.6) обладают круговым свойством, так как они линейные. Остается доказать, что второе отображение (2.2.6), т.е. отображение

, (2.2.7)

так же обладает круговым свойством.

Уравнение любой окружности или прямой на плоскости имеет вид

(2.2.8)

(если , то (3.2.9) – уравнение прямой).

Так как , то уравнение (2.2.8) записывается в виде

, (2.2.9)

где .

Подставив в (2.2.9) получаем

. (2.2.10)

Следовательно, образом окружности (2.2.9) (прямой, если ) при отображении (2.2.7) является окружность (2.2.10) (прямая, если ).

Отметим, что дробно-линейное отображение переводит окружности и прямые, проходящие через точку в прямые, а остальные окружности и прямые – в окружности.

Принято считать, что прямая – это окружность бесконечного радиуса. Поэтому коротко круговое свойство можно сформулировать так: при дробно-линейном отображении окружности переходят в окружности.

4. Свойство сохранения симметрии.

Понятие симметрии относительно окружности определяется в элементарной геометрии следующим образом. Пусть – окружность радиуса с центром в точке .

Определение. Точки и называются симметричными относительно окружности , если они лежат на одном луче, выходящем из точки , и (Рис. 3.2.1).

Рисунок 2.2.1.

В частности, каждая точка окружности является симметричной сама себе относительно этой окружности.

Таким образом, на комплексной плоскости точки и являются симметричными относительно окружности , если они лежат на одном луче, выходящем из точки и . Из этого определения вытекает, что симметричными относительно окружности точки , связаны соотношением

(2.2.11)

В частности, симметричные относительно единичной окружности точки и связаны соотношением:

(2.2.12)

Так как точки и симметрично относительно действительной оси, то из (2.2.12) следует, что точка получается из точки двойной симметрией: относительно действительной оси и относительно единичной окружность (в любом порядке).

Из (2.2.11) вытекает, что симметричные относительно окружности точки и связаны соотношением

(2.2.13).

Стоит отметить, что точки и являются симметричными относительно окружности тогда и только тогда, когда любая окружность , проходящая через эти точки, пересекается с окружностью под прямым углом.

Дробно-линейное отображение обладает следующим свойством сохранения симметрии.

При дробно-линейном отображении пара точек, симметричных относительно окружности, переходит в пару точек, симметричных относительно образа этой окружности.

Здесь окружность, в частности, может быть прямой.

Докажем это свойство. Пусть точки и симметричны относительно окружности и пусть дробно-линейное отображение переводит окружность в , а точки и – в точки и соответственно. В силу кругового свойства является окружностью. Нужно доказать, что точки и симметричны относительно . Для этого достаточно доказать, что любая окружность , проходящая через точки и , пересекается с под прямым углом.

Прообразом окружности при дробно-линейном отображении является окружность , проходящая через точки и . Эта окружность пересекается с под прямым углом. Следовательно, пересекается с так же под прямым углом, так как дробно-линейное отображение является конформным во всей расширенной плоскости и сохраняет углы между кривыми в каждой точке.

5. Дробно-линейное отображение, переводящее три точки в три точки.

Существует единственное дробно-линейное отображение, при котором три различные точки переходят в три различные точки . Это отображение определяется формулой

(2.2.14)

Докажем это свойство. Из группового свойства следует, что функция , определяемая соотношением (2.2.14), является дробно-линейной. Так же ясно, что

Докажем, что если дробно-линейная функция удовлетворяет тем же условиям, что и ,а именно , то . Пусть – функция, обратная функции . Тогда – дробно-линейная функция:

и . То есть ,

Отсюда получаем ,то есть квадратное уравнение имеет три различных корня. Следовательно, и , откуда .Свойство доказано.

Заметим, что функция ,определенная формулой (3.2.15), конформно отображает круг, граница которого проходит через точки , , на круг, граница которого проходит через точки

Дата добавления: 2015-08-17