Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Касательная к окружности

Высота в прямоугольном треугольнике | Сумма треугольника равна 180 градусов. | Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы | Элементы треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы | Четырехугольники. Сумма углов четырехугольника. Параллелограмм. Виды параллелограммов и их свойства. Ромб, прямоугольник, квадрат. Трапеция и ее свойства | Параллелограмм и его свойства. Площадь параллелограмма. Биссектрисы углов параллелограмма | Прямоугольник и его свойства | Ромб и его свойства | Квадрат — определение и свойства | Трапеция и ее свойства |


Читайте также:
  1. Задание 6. Нахождение величины угла в окружности.
  2. Задача В13. Задания на проценты, сплавы, растворы, на движение по окружности и нахождение средней скорости
  3. Касательная и нормаль к плоской кривой.
  4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности в заданной точке.
  5. СОПРЯЖЕНИЕ ДУГИ ОКРУЖНОСТИ С ПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ ДУГОЙ ЗАДАННОГО РАДИУСА r

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.

Понятие касательной к окружности и основные свойства касательной проиллюстрированы ниже на рисунке.

1. Угол ACO равен 28°, где O — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Найдите величину меньшей дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, угол САО — прямой. Из треугольника АСО получим, что угол АОС равен 62 градуса. Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается, значит, величина дуги АВ — тоже 62 градуса.

Ответ: 62.

2. Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, а большая дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна 116°. Ответ дайте в градусах.

Это чуть более сложная задача. Центральный угол АОD опирается на дугу AD, следовательно, он равен 116 градусов. Тогда угол АОС равен 180° - 116° = 64°. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, значит, угол ОАС — прямой. Тогда угол АСО равен 90° - 64° = 26°.

Ответ: 26.

3. Хорда AB стягивает дугу окружности в 92°. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.

Проведем радиус ОВ в точку касания, а также радиус ОА. Угол ОВС равен 90°. Треугольник ВОА — равнобедренный. Нетрудно найти, что угол ОВА равен 44 градуса, и тогда угол СВА равен 46 градусов, то есть половине угловой величины дуги АВ.

Получается, что угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

4. Через концы A, B дуги окружности в 62° проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрите четырехугольник ОВСА. Сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна 360°. Углы ОВА и ОВС и ОАС — прямые, угол ВОА равен 62°, значит, угол АСВ равен 28 градусов.

Ответ: 28.

5. К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника.

Вспомним еще одно важное свойство касательных к окружности:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
Периметр треугольника — это сумма всех его сторон. Обратите внимание на точки на нашем чертеже, являющиеся вершинами шестиугольника. Из каждой такой точки проведены два отрезка касательных к окружности. Отметьте на чертеже такие равные отрезки. Еще лучше, если одинаковые отрезки вы будете отмечать одним цветом. Постарайтесь увидеть, как периметр треугольника АВС складывается из периметров отсеченных треугольников.

Ответ: 24.

Все эти задачи встречаются в Банке заданий ФИПИ под номером В6. А вот одна из сложных задач В3:

6. Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна 5. Его периметр равен 10. Найдите радиус этой окружности.

Обратите внимание — в условии даже не сказано, сколько сторон у этого многоугольника. Видимо, это неважно. Пусть их будет пять, как на рисунке.
Окружность касается всех сторон многоугольника. Отметьте центр окружности — точку О — и проведите перпендикулярные сторонам радиусы в точки касания.

Соедините точку О с вершинами А, В, С, D, E. Получились треугольники АОВ, ВОС, СОD, DOE и ЕОА.
Очевидно, что площадь многоугольника S = SАОВ + SВОС + SСОD + SDOE + SЕОА.
Как вы думаете, чему равны высоты всех этих треугольников и как, пользуясь этим, найти радиус окружности?

Ответ: 1.


Дата добавления: 2015-08-17; просмотров: 419 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Окружность. Центральный и вписанный угол| Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)