Задача 4. Пусть на рынке из акций А1, А2 и А3 допустимо формирование портфелей w=(w1,w2,w3)

Пусть на рынке из акций А₁, А₂ и А₃ допустимо формирование портфелей w =(w₁,w₂,w₃)

веса которых удовлетворяют ограничениям a_i ≤ w_i ≤ b_i где

a ₁ = 0,1 a ₂ = -0,5 a ₃= -0,1 0

b ₁ = 3 b ₂ = 2,0 b ₃ = 4 8,4

Начальные цены акций А₁, А₂ и А₃ равны $100,00; $50,00; $80,00 а конечные - $120,00; $55,00; $60,00 соответственно. Какую максимальную прибыль (без учета комиссии и налогов) может получить инвестор с начальным капиталом 10000$, если он формирует допустимый портфель из акций А₁, А₂ и А₃. Дивиденды не учитывать.

Решение. Найдем сначала доходности активов

r₁=$120/$100-1= 0,2; r₂=$55/$50-1= 0,1 и r₃=$40/$80-1 = -0,5

Тогда доходность портфеля без учета комиссии равна

r_π = r₁w₁ + r₂w₂ + r₃w₃= 0,2w₁ + 0,1w₂ -0,5w₃ ; w₁ + w₂ + w₃ =1.

Поскольку доходность линейная функция весов (при заданных доходностях активов) то максимальное значение возможно только на граничных значениях этих весов. Это означает что начав с любого допустимого портфеля нужно максимальным образом увеличивать веса более доходных и на ту же величину (чтобы сохранить портфельное ограничение – сумму весов равной 1) уменьшать веса менее доходных активов.

Возьмем в качестве исходного портфель

w₁ = 0,1; w₂ = -0,1; w₃ =1.

Это, очевидно, допустимый портфель. Его доходность

r_π = 0,2∙0,1 - 0,1∙0,1 -0,5∙1= -0,49

Будем увеличивать вес w₁ (наиболее доходного актива) А₁ и одновременно уменьшать на эту же величину вес w₃ (самого низкодоходного) актива А₃. Предельное возможное увеличение w₁ (с 0,1 до 3) составляет 3-0,1= 2,9 а предельное возможное уменьшение w₃ (с 1 до -0,1) составляет
1-(-0,1)=1,1. Это значит, что одновременно можно увеличить w₁ на 1,1 с 0,1 до 1,2, и уменьшить w₃ с 1 до предельного значения -0,1. Поэтому получился новый портфель

w₁=1,2; w₂ = -0,1; w₃ = -0,1

с доходностью

r_π = 0,2∙1,2 - 0,1∙0,1 +0,5∙0,1 = 0,28.

Поскольку уменьшать вес w₃ более невозможно, будем увеличивать вес w₁ актива А₁ (более доходного чем А₂ ) и одновременно уменьшать вес w₂ менее доходного актива А₁ . Предельное увеличение w₁ (с 1,2 до 2) составляет 2-1,2=0,8 а предельное уменьшение веса w₂ (с -0,1 до -0,5)

составляет -0,1- (-0,5) = 0,4. Поэтому одновременно возможно только увеличить вес w₁ на 0,4
с 1,2 до 1,6 и уменьшить w₂ на 0,4 с -0,1 до -0,5 предельного значения -0,5. В итоге получим портфель

w₁=1,6; w₂ = -0,5; w₃ = -0,1

с доходностью

r_π = 0,2∙1,6 - 0,1∙0,5 +0,5∙0,1 = 0,32.

Полученный портфель имеет максимальную доходность 0,32 или 32%. Поэтому наибольшая возможная прибыль составляет

I_max = $10000∙0.32= $3200.

Образцы решения экзаменационных задач II.

Дата добавления: 2015-08-20