Задача 3. Инвестор с начальным капиталом 100000 долл

Инвестор с начальным капиталом 100000 долл. Формирует портфель из активов А₁ и A₂ по начальной цене $100 и $50 соответственно. Конечная цена активов А₁ и A₂ равна $120 и $40 соответственно. Найти максимальную прибыль за полгода, которую может заработать инвестор с учетом комиссии 2,00% (но без налогов) если веса активов удовлетворяют ограничениям:

a ₁= -1 a ₂ = -0,5

b ₁ = 3 b ₂ = 5,5

Решение. Обозначим через S₀ начальную стоимость портфеля. Пусть веса портфеля с наибольшей прибылью равны w₁ и w₂. Тогда как в предыдущей задаче получим

W₀ = S₀ + C₀ = S₀ + α|| S ₀|| = S₀[1+ α(|w₁| + | w₂ |)]

Откуда

S₀ = W₀/[1+ α(|w₁| + | w₂ |)]

Поскольку

-1≤w₁≤3 и -0,5≤w₂ ≤5,5

То подставляя w₂=1-w₁ в второе неравенство получим

-0,5≤ 1-w₁ ≤5,5

или

-4,5≤ w₁ ≤1,5

Совместно с первым неравенство это дает ограничение на вес первого (более доходного) актива

-1≤ w₁ ≤1,5.

Доходности активов равны соответственно

r₁=$120/$100-1=0,2 и r₂=$40/$50-1= -0,2

Тогда доходность портфеля без учета комиссии равна

r_π = r₁w₁ + r₂w₂ = r₁w₁ + r₂(1-w₁) = r₂ + w₁(r₁-r₂) = -0,2 +0,4w₁.

Без учета комиссии веса портфеля с наибольшей прибылью будут

w₁ =1,5 и w₂ = -0,5

а максимальная доходность портфеля составит

r_π = -0,2 +0,4∙1,5 = 0,4.

Начальная стоимость такого портфеля будет равна

S₀ = W₀/[1+ α(|w_A| + | w_B |)]=$100 000/1,04 = $96153,85.

Тогда

S₀¹ = w₁ ∙S₀ =1,5∙ $96153,85= $144230,77 и S₀²= 2 ∙S₀ = -0,5∙ $96153,85= -$48076,92.

Начальный оборот портфеля

|| S ₀|| = |S₀¹| + | S₀²| = $144230,77 + $48076,92. = $192307,69.

Начальная комиссия

С₀ = α|| S ₀|| = 0,02∙ $192307,69 = $3846,15

Конечные стоимости позиций будут равны

S₁¹ = S₀¹(1+ r₁) = $144230,77∙1,2 = $173076,92

S₁² = S₀²(1+ r₂) = -$48076,92∙0,8= - $38461,54.

Конечная стоимость портфеля

S₁= $173076,92 - $38461,54 = $134615,38

Конечный оборот портфеля

|| S ₁|| = |S₁¹| + | S₁²| = $173076,92 + $38461,54 = $211538,46.

Начальная комиссия

С₁ = α|| S ₁|| = 0,02∙ $211538,46 = $4230,77

Полная комиссия

С = С₀ + С₁ = $3846,15 + $4230,77 = $8076,92.

Следовательно прибыль без учета комиссии равна

I^(p) = D S = S ₁ - S ₀ = $134615,38 - $96153,85 = $38461,53

А с учетом комиссии

I_α^(p) = I^(p) – С = $38461,53 - $8076,92 = $30384,61

Поскольку короткие позиции порождают большие обороты и комиссии, необходимо рассчитать вариант инвестирования без коротких позиций, т.е. когда весь капитал (с учетом комиссии) вкладывается в наиболее доходный актив.

В этом случае w₁=1 и w₂ = 0

Поэтому

S₀ = W₀/[1+ α(|w_A| + | w_B |)] = $100 000/1,02 = $98039,22

С₀ = α|| S ₀|| = 0,02∙ $98039,22= $1960,78

S₁ = S₁¹ = S₀¹(1+ r₁) = $98039,22∙1,2 =$117647,06

С₁ = α|| S ₁|| = 0,02∙ $11764,06 = $2392,54

Полная комиссия

С = С₀ + С₁ = $1960,78 + $2392,54 = $4313,73.

Прибыль без учета комиссии равна

I^(p) = D S = S ₁ - S ₀ = $11764,06 - $98039,22 = $19607,84

А с учетом комиссии

I_α^(p) = I^(p) – С = $19607,84 - $4313,73 = $15294,11

Поскольку эта прибыль меньше той, что получена с использованием короткой позиции по активу с меньшей доходностью то окончательный ответ будет

I_α^(p) = $30384,61

Дата добавления: 2015-08-20