Пример 7.4

В поле GF (2⁸) существует элемент α¹⁵, порядок которого равен l ₁₅=17, следовательно, возможен РС-код над GF (2⁸) с N =17.

Другой способ получения укороченных РС-кодов состоит в следующем. В выражении

произведем подстановку x ® x^m. Тогда получим

.

Можно доказать, что многочлен x^m –α ^is принадлежит показателю ml_s, из чего вытекает, что с помощью порождающего многочлена

может быть построен РС-код с N=ml_s, состоящий из m чередующихся кодовых комбинаций РС-кодов длины l_s.

7.1.3. Отображение РС-кодов над GF(2^m) на двоичные коды

Элементы GF (q) при q = p^m, как это было рассмотрено выше, могут быть представлены последовательностями длины m с элементами из GF (p). В этом случае (N, K)-код РС с расстоянием D над GF (q) становится (n = mN, k = mK)-кодом над GF (p) с расстоянием d ³ D.

Если q= 2 ^m, то двоичные коды, получаемые таким путем, часто имеют большое минимальное расстояние.

Пусть ξ₁, …, ξ _m –базис элементов поля GF (2 ^m) над GF (2). Тогда, если – произвольный элемент GF (2 ^m), где b_i=GF (2), то β отображается в последовательность длины m:
b ₁, b ₂, …, b_m.

Это отображение переводит линейные коды в линейные. При этом циклические коды не обязательно переходят в циклические.

Дата добавления: 2015-08-02