Читайте также:
|
В особых точках функции 
нарушается ее аналитичность.
Изолированные особые то чки – особые точки простейшего типа.
Точка 
называется изолированной особой точкой функции , если существует такая ее окрестность, во всех точках которой аналитична, за исключением самой точки . Если 
- изолированная особая точка , то существует такое достаточно малое кольцо 
, в котором функция аналитична и в котором, следовательно, разлагается в ряд Лорана:
.
При этом возможны три случая:
1. Главная часть ряда Лорана отсутствует:
. В этом случае особая точка называется устранимой.
2. Главная часть имеет конечное число членов:
, где 
. В этом случае точка называется полюсом 
-го порядка. Если 
, полюс называется простым, в остальных случаях – кратным.
3. Главная часть имеет бесконечное число слагаемых 
, тогда точка называется существенно особой точкой.
Теорема 1. Для того, чтобы была устранимой особой точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный предел 
.
Если 
, то называется полюсом.
Замечание. Если 
, где 
и 
- полиномы, не имеющие общих корней, то корни полинома (и только они) являются полюсами функции .
Теорема 2. Для того, чтобы была полюсом -го порядка функции , необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности точки имело место равенство 
, где 
- аналитическая в окрестности точки функция.
Если 
не существует, то называется существенно особой точкой.
Замечание. Если функция имеет в точке нуль -го порядка, то функция 
имеет в этой точке полюс того же порядка. 
Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 53 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Нули аналитических функций | | | Понятие вычета |