Интегралы по неограниченным путям интегрирования

Пусть область ограничена кривой , состоящей из двух лучей и , выходящих из точки и определяемых уравнениями и .

Пусть аналитична в области и непрерывна на ее границе , за возможным исключением конечного числа точек . Обозначим те части кривых соответственно, которые лежат в круге .

Интеграломпо неограниченной кривой от функции называется сумма пределов .

Направление на кривой выбирают так, чтобы область при обходе оставалась слева.

Главным значением интеграла по кривой называют предел , .

Замечание. Если кривая совпадает с действительной осью (), получается обычное определение несобственного интеграла . Если же совпадает с вертикальной прямой , то главное значение интеграла .

На случай рассмотренной области основная теорема о вычетах распространяется следующим образом:

Теорема 6. Если функция аналитична в области и непрерывна на ее границе , за исключением конечного числа особых точек , и если , то . Здесь - та часть окружности , которая лежит в области .

С помощью этой теоремы можно распространить на неограниченный контур интегральную формулу Коши.

Теорема 7. Если функция аналитична в области и непрерывна на ее границе , и если , то для любой точки области .

Из теоремы 6 можно получить еще одну удобную для вычисления несобственных интегралов формулу:

Теорема 8. Если рациональная функция не имеет полюсов на вещественной оси и степень знаменателя , по крайней мере, на две единицы выше степени числителя , то , где - нули функции , лежащие в верхней полуплоскости.

Дата добавления: 2015-07-20