Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Векторний добуток векторів

МАТРИЦІ | Ранг матриці | Методи визначення рангу матриць | Лінійна залежність | ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ | СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ | Критерій сумісності системи рівнянь | Методи розв’язання систем | Аналітична геометрія | ВЕКТОРИ |


Читайте также:
  1. В. Опис місцевості, де передбачається видобуток води
  2. Дисоціація води. Іонний добуток води. Водневий показник
  3. Добуток розчинності
  4. Додавання векторів.

Df Векторний добуток двох векторів – це інший вектор , перпендикулярний площині, що утримує вектори , який задовольняє умовам:

 

1) Довжина дорівнює добутку довжин векторів на сінус кута між ними | | .

 

2) Вектор векторного добутку =

перпендикулярний обом векторам .

 

3) спрямований так, що вектори і маютьту саму орієнтацію, що і вектори базису.

Властивості:

1. Порядок множників важливий.

2.

3.

4. =

    Векторний добуток використовується для обчислення площі паралелограмапобудованого на двох неколінеарних векторах:   Умова колінеарності: = 0 , . Вектор, перпендикулярний до площини, в якій розташовані , спрямований в сторону, суміщення одного вектора з другим буде здаватися минаючим проти годинникової стрілки (величина його чисельно дорівнює пло­щі паралелограма на векторах). Трійка векторів –три вектора, для яких визначений порядок наступності.     Трійка некомпланарних векторів , права (ліва),якщо після перенесення їх до спільного початку вектор розташовується по той бік від площини, обумовленої векторами , звідки здається, що найкоротший поворот від до проти стрілки годинникової (за годинниковою стрілкою).     права трійка ліва   Змішаний добуток трьох векторів:   це скалярно - век­торний добуток трійки векторів. ()∙     Результат скалярного множення векторного добутку двох векторів на тре­тій. , , . ()∙ = =   , ()∙ =   Властивості: 1. Порядок множників важливий: при круговій перестановці векторів їх добуток незмінний, при перестановці двох множників – змінює знак на протилежний.     2. Умова компланарності: = 0. є ортогональним площині векторів , тобто .   3. = 0, якщо хоча б один вектор дорівнює нулю.   4. =   Праві системи координат –системи, базисні вектори яких утворюють праву трійку.   Геометричний сенс:       Змішаний добуток використовується для обчислення об’єму паралелепипеда,побудованого на трьох некомпланарних векторах.     Рівняння лінії на площині –це рівняння із змінними х та у, якому задовольняють координати будь-якої точки цієї лінії і не задовольняють координати точки, що не належить лінії.   Найпростіша лінія на площині – пряма. Вектор, що не дорівнює 0, спрямований вздовж прямой – (т,п) - її направляючий вектор. Вид рівняння 1.     2. а х + bу + с = 0 3. 4. 5. 6. у – у0 = k(х – х0) пучок прямих М0 – центр пучка 7. у = kх + b 8. 9. Рівняння лінії в просторі –це рівняння із змінними х, у, z, якому задовольняють координати будь-якої точки цієї лінії і не задовольняють координати точки, що не належить площині. Вид рівняння 1. 2. а х + bу + сz + d = 0   3. 4. = 5. 6. 7. а 1 х + b1 у + с1 z + d 1 + + (а 2х + b2у+ с2z + d2)= 0 Вид рівняння 1. 2. А х + Ву + Сz + D = 0   3. 4. 5. 6. = 0     7. = 0 ПРЯМА НА ПЛОЩИНІ Пряма на площині визначається точкою та напрямком.     Напрямок задається:   1) Нормальним вектором (а,b), перпендикулярним до прямої; 2) Напрамляючим вектором (m,n), паралельним до а. Назва та позначення Рівняння прямої, що проходе через точку перепендикулярнонормальному вектору (а,b). Загальне рівняння прямої,де а,b – координати перпендикуляра до прямої.   Канонічне рівнянняпрямої. , (m,n)- координати напрямного вектора , який паралельний прямій . Рівняння прямої, що проходе через дві точки та , .   Рівняння прямої в відрізках. На вісі ОХ відрізок а*= , на вісі ОУ -відрізок b*= .   Рівняння прямої, що проходе через точку з кутовим коефіцієнтом , де α-кут нахилу прямої до осі ОХ. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом , де b – відрізок, який відтинає пряма на вісі ОУ.   Параметрична форма,де t – параметр, , напрамляючий вектор (m,n). Нормальне рівняня прямої, де , р – перпендикуляр із О(00) на пряму.   Перехід від (2) до (9): Необхо­дно (2) домножити на N = норміруючий множник (знак брати протилежний знаку с). а,b,с – числа, - координати кожної точки прямої. ПРЯМА В ПРОСТОРІ Пряма в просторі визначається точкою та напрямком. Напрямок задається: 1.Нормальним вектором (а,b,с), перпендикулярним до площини. 2. Напрамляючим вектором (m,n), паралельним до а.   Найпростіша лінія в просторі – пряма.   Назва та позначення Рівняння прямої, що проходе через точку перепендикулярнонормальному вектору (а,b,с). Загальне рівняння прямої,де а, b, с – координати перпендикуляра до прямої   Канонічне рівнянняпрямої. , (m,n,р)- координати напрямного вектора , який паралельний прямій .   Рівняння прямої, що проходе через дві точки та .   Параметрична форма,де t – параметр, , напрамляючий вектор (m,n,р). Векторне рівняня прямої. радіуси – вектори точок М і М0 – вектора з початку координат. , , , , .   Рівняння пучка прямих (через точку перетину двох прямих) з центром в М. ПЛОЩИНА В ПРОСТОРІ Площина в просторі визначається точкою та напрямком. Напрямок задається нормальним вектором (а,b,с), перпендикулярним до площини.     Назва та позначення Рівняння прямої, що проходе через точку перепендикулярнонормальному вектору (А,В,С). Загальне рівняння прямої,де а, b, с – координати перпендикуляра до прямої прямої. У векторній формі,де р – довжина перпендикуляра із О(0,0,0) на площину α. - одиничний вектор, перпендикулярний до площини α.   Через норміруючий множник , (А,В,С)- нормальний вектор площини, задана М1.   Рівняння прямоїв відрізках.На вісі ОХ відрізок а*= , на вісі ОУ - відрізок b*= , на вісі ОZ відрізок с* = .   Рівняння площини,що проходе через точку , паралельно двом некомпланарним векторам і . Рівняння площини,що проходе через 3 точки , та що не належать одній прямій. 1. А1 х + В1 у + С1 z + d1 + + (А2х + В2у+ C2z + D2) = 0 Для кожного конкретного це рівняння визначає деяку пряму,що проходе через пряму .   Просторова теорема Піфагора:     2.     3.     4. = 0   Ах + Ву + Сz + D = 0   На площині   Між прямими - між їх нормальними або напрямляючими векторами: Якщо , то     На площині Прямі: . Якщо Якщо Якщо   На площині Прямі: . Якщо , то Якщо Якщо , то   На площині   Від точки до прямої а х + bу + с = 0 завжди - довжина перпендикуляра із М до прямої.   Відхилення: . Норміруючий множник . -довжина вектора. Знак протилежний знаку коефіцієнта с в рівнянні прямої.   ГМТ – фігура, яка складається із усих точок площини або простора, що мають властивості певні.     Коло - частковий випадок еліпса з рівними осями і фокусами в одній точці – центрі кола.   Фокальні радіуси -вектори ( і 1) точки - відстань точки М(х,у) еліпса від його фокусів: = а - х, r = MF, = а + х, r1= MF1. 1) або 2) Будуємо прямокутник , і його діагоналі - асимптоти, а потім гіперболу, яка перетинає дійсну вісь.   Відстань точки М(х,у) від її фокусів – це фокальні радіус-вектори данної точки.     у2 = 2рх - симетрична відносно ОХ. директриса.   х2 = 2qу - симетрична відносно ОУ. директриса.     Вершина – в початку системи координат фокальний радіус -вектор.         - рівняння лінії         - рівняння сфери з центром С і радіусом . Приклади: 1. еліптична циліндрична поверхня з твірною паралельною ОZ 2. гіперболічна циліндрична поверхня з твірною паралельноюОХ 3. еліпсоід обертання навколо вісі ОZ (обертається еліпс навколо ОZ). 4. еліпсоід обертання навколо вісі ОУ (обертається еліпс навколо ОУ).   ПРЯМА І ПЛОЩИНА У ПРОСТОРІ Рівняння пучка площин (через лінію перетину двох площин) : А1 х + В1 у + C1 z + D1 = 0 α2: А2 х + В2у + C2z + D2= 0 , де = , = , = Пряма належить площині : Ах + В у + C z + D = 0, . Площина утримує точку . Нормальний вектор . Дві прямі належать одній площині Якщо - зхрещені. , . , якщо напрямляючі коефіцієнти не пропорційні і , якщо пропорційні.   Дослідження загального рівняня площини: 1) D = 0 => Ax + By + Cz = 0 – площина проходе через початок координат.   2) A = 0 => By + Cz + D = 0 площина параллельна вісі ОХ.   3) B = 0 => Ax + Cz + D = 0 площина араллельно вісі ОУ.   4) C = 0 => Ax + By + D = 0 площина араллельно вісі OZ.   5) Ву + Cz = 0: у = - площина обертається навколо вісі OХ.   6) = > Ах + Cz = 0: х = - площина обертається навколо вісі ОУ.   7) = > Ах + Ву = 0: х = - - площина обертається навколо вісі О Z.   8) = > Cz + D = 0: = const площина проходе араллельно площині ХОУ.   9) = > Ву + D = 0: = const площина проходе араллельно площині XOZ.   10) = > Ах + D = 0: = const площина проходе араллельно площині УOZ. Якщо в рівнянні площини відсутня координата, то площина паралельна цій вісі. КУТИ У просторі Між прямими –між їх нормальними або напрямляючими векторами , . Між площинами– між їх нормальними векторами: : А1 х + В1 у + C1 z + D1 = 0 α2: А2 х + В2у + C2z + D2 = 0 = . , ,   Між прямою та площиною –між прямою і її проекцією на площину.   : Ах + В у + C z + D = 0, .   УМОВА ПАРАЛЕЛЬНОСТІ   У просторі Прямих: , якщо для , . Площин: , якщо : А1 х + В1 у + C1 z + D1 = 0 α2: А2 х + В2у + C2z + D2= 0 Прямої та площини: , : Ах + В у + C z + D = 0, УМОВИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТІ   У просторі Прямі: , якщо для , . Площини: , якщо . : А1 х + В1 у + C1 z + D1 = 0 α2: А2 х + В2у + C2z + D2= 0   Прямої та площини: , : Ах + В у + C z + D = 0, ВІДСТАНЬ У просторі Від точки до а х + bу + сz + d = 0 прямої. завжди -довжина перпендикуляра із М до прямої. Від точки до площини : Ах + В у + C z + D = 0. завжди. Відхилення: , Норміруючий множник - довжина вектора. Знак протилежний знаку коефіцієнта dв рівнянні прямої.   КРИВІ 2 ПОРЯДКУ Це лінії, координати точок яких задовольняють рівнянням другого степеня.   Коло Це геометричне місце точок площини (ГМТ), рівновіддалених від однієї точки – центра. С - центр, - радіус.   Коло з центром в початку координат 0(0,0) . Еліпс Це геометричне місце точок (ГМТ), сума відстаней яких від двох точок F и f1 (фокусів) є величина постійна. С - центр, а, b – піввісі. а – велика (на ОХ), b – мала(на ОУ). 1) Якщо а > b, то F и f1 на вісі ОХ на відстані с = від початку координат. - ексцентриситет. 2) Якщо а < b, то F и f1 на вісі ОУ на відстані с = від початку координат.   4) Якщо а = b, то це коло х2 + у2 = а2 Директриси еліпса , - прямі паралельні малій вісі еліпса, що відстоять від неї на відстані . Ексцентриситет еліпса = - цевідношення відстаней будь-якої точки еліпса до фокуса і відповідної директриси.   Гіпербола Це геометричне місце точок площини (ГМТ), різ­ниця відстаней яких від двох даних точок F и f1 (фоку­сів), є величина постійна: 2а (0 < 2а < FF1). а, b – піввісі.   F(с; о) і f1 (- с; о) - фокуси. | FF1 | = 2с.   1) а – на дійсній піввісі ОХ; х = - вершина гіперболи, b – на мнімій піввісі ОУ. 2) b – на дійсній піввісі ОУ; вершина гіперболи у = . а – на мнімій піввісі ОХ. с = с – відстаньфокуса від початку координат. а – велика (на ОХ), b – мала(на ОУ). = |- а + х |, = | а + х | - фокальні радіус-вектори асимптоти. Ексцентриситет гіперболи = Якщо а = b, то гіпербола рівнобічна х2 - у2 = а2. Асимптоти: у = х, х = у. Сполучені: , Парабола Це геометричне місце точок площини, рівновіддалених від данної точки - фокуса і від данної прямой - директриси. Фокус не належить директрисі. Якщо , де , то це парабола із зміщеною вершиною. Вісь симетрії паралельна ОУ або співпадає з нею. - гілки догори, - гілки донизу. , - координати вершини , де Директриса паралельна ОХ, то у = .   Якщо , де , то це парабола із зміщеною вершиною. Вісь симетрії паралельна ОХ або співпадає з нею. - гілки догори, - гілки донизу. , - координати вершини , де Директриса паралельна ОУ, то х = Для визначення геометричного образу, який описує алгебраічне рівняння вигляду Ах2 + Ву2 + Сх + Dу + F = 0 треба звести його до одного з каноничних рівнянь ліній другого порядку шляхом виділення повних квадратів:  
  1. А = В і одного знаку – то це рівняння кола.
  2. А Ві одного знаку – то це рівняння еліпса.
  3. Аі В різних знаків – то це рівняння гіперболи.
  4. А = 0, В = 0,то це рівняння параболи.
  ПОЛЯРНА СИСТЕМА КООРДИНАТ. Беремо довільну точку О – полюс та одиницю масштабу. З неї виходе півпряма - полярна вісь. ОР - промінь. Положення точки М на площині визначається двома величинами: 1) р - радіус – вектор > 0, відстань від М до полюса О: ρ = ОМ. 2) φ – полярний кут - величина кута, утвореного [ОМ] з віссю проти годинникової стрілки, < 0 – за годинниковою стрілкою .   Якщо 0 , то кожній точці площини (крім О) відповідає певна пара чисел ρ і φ. Для полюса ρ = 0, кут φ – будь-який.     Зв’язок ПОЛЯРНИХ і прямокутних декартових координат. , Відстань між точками: , Приклади: 1. ρ = а = Const - к оло з центром в О і ρ = а, х2+у2 = а2   2. ρ = аφ - спіраль Архимеда.   3. ρ = 2acosφ - коло з центром в точці ρ0 = а, φ = 0, R = a. , 4. - лемніската 5.ρ = 2acos 3 6. ρ = a(1 + cosφ) - кардіоіда ПОВЕРХНІ 2 ПОРЯДКУ Це такі поверхні, рівняння яких містять хоча б одну з координат х, у, z у 2 степені. Конічна –поверхня, яка утворена прямою лінією (твірною), що проходить через задану точку (вершину поверхні) і перетинає задану лінію (напрямну лінію). Циліндрична –поверхня, яка утворена прямою лінією (твірною), що проходить паралельно до заданої прямої L (вісі поверхні) і яка проходить через задану лінію (напрямну лінію). 1.Твірна паралельна ОZ, 2. 3. Твірна паралельна ОУ, 4. Твірна паралельна ОХ, Правило знаходження рівняня проверхні обертання: 1. В рівнянні лінії обертання залишити незмінною координату, одноіменну з віссю обертання. 2. Другу координату рівняння лінії обертання замінити на квадратів двох інших просторових координату. Застосовується метод перерізу. Застосування кривих та поверхонь обертання: 1. Будівництво водонапорних башт та радіощогл (однополостні гіперболоіди). 2. В прожекторах, фарах, антенах радіолокаторів (параболоіди обертання). 3. Закони Кеплера. 4. Орбіти штучних супутників Землі. (коло, еліпс, парабола, гіпербола в залежності від швидкості і відстані)…

Конспект – схема лекції

„Вступ до математичного аналізу”

 

1. Основні поняття.

2. Множини.

2. Функція однієї змінної.

3. Теорія границь.

5. Неперервність функції.

 

Дата добавления: 2015-07-25; просмотров: 233 | Нарушение авторских прав

<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Розкладання вектора| МНОЖИНИ.
mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.013 сек.)