Матриці

Це впорядковані таблиці числових або літерних значень з m рядків та n стовпців А , або А =

Характеристики матриць:

1. Елементи - величини, що входять до матриці (і – номер рядка, j – стовпця) і знаходятьсмя на перетині і –го рядка, j – стовпця. , 2. Розмір матриці -зумовлений кількістю його рядків і стовпців. 3. Головна діагональ –спрямована зверху донизу, зліва направо. 4. Побічна діагональ – протилежна головній діагоналі. 5. Алгебраічні доповнення (ад’юнкта) елементів -мінори цих елементів, взяті із знаком : = 6. - мінор елемента - визначник на порядок нищий попереднього визначника, що залишається після викреслювання рядка та стовпця, які стоять на їх перетині. 7. Пропорційні рядки (стовпці) –якщо елементи одного з них отримані з іншого домноженням на одне число. 8. Транспонування – математична операція, при якій рядки становляться відповідними стовпцями. 9.Елементи з однаковими індексами називаються діагональними. 10.Матриці еквівалентні,якщо одна з них отримана з іншої шляхом елементарних перетворень. А ~ В.  

Види матриць:

№	Назва та означення	Формула
	Матриця - рядок	,
	Матриця - стовпець	,
	Квадратнаматриця – якщо кількість рядків і стовпців однакові:	,
	Прямокутнаматриця – якщо кількість рядків і стовпців різні:	,
	Нульова матриця – якщо всі елементи дорівнюють нулю.	,
	Особлива (вироджена) -квадратнаматриця, виз-начник якої дорівнює 0.	,
	Невироджена -квадратнаматриця, визначник якої відмінний від нуля.	,
	Ступінчата -квадратнаматриця, якщо в окремих рядках один елемент відмінний від 0, а всі інші дорівнюють нулю.	,
	Діагональна -ступінчатаматриця, якщо відмінні від 0 елементи стоять на головній діагоналі.	,
	Скалярна -діагональнаматриця, елементи якої рівні між собою.	,
	Одинична –скалярна матриця, елементи якої на головній діагоналі 1.	.

Дії над матрицями

Матрицю неможливо обчислити!

  При будь-яких діях над матрицями завжди отримують матрицю.  

Матриці рівнітоді і тільки тоді, коли вони мають однаковий розмір та однакові відповідні елементи: А = В

№	Дія, закон	Формула
	Додавання матриць. Сума двох матриць А і В – інша матриця, кожен елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів матриць А і В.	+ =   А + В = С,тобто
	Віднімання матриць. Різниця двох матриць А і В – інша матриця, кожен елемент якої дорівнює різниці відповідних елементів матриць А і В.	- =   А - В = Д,тобто
	Множення матриць на число. Добутком матриці А на число k – інша матриця, кожен елемент якої дорівнює добутку відповідних елементів матриці А на число k.	kА = k =   kА = С,тобто
	Множення матриць. Добуток двох матриць А і В – інша матриця, кожен елемент якої дорівнює сумі добутків елементів i-го рядка матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриці В.	А∙В= ∙ = = ,   А∙В = С,де
	Піднесення матриці А до степеня n (можливе лише для квадратних матриць) – множення матриці саму на себе n разів.
	Транспонуванняматриць	А = ,
	Обертання– процес знаходження оберненої матриці	А^-1 =
	Діленняматриць	= С, де В^-1 – обернена до В матриця

Властивості матриць:

Добуток прямокутних матриць існує лише тоді, коли кількість стовпців лівої матриці дорівнює кількості рядків правої матриці.

Лише квадратну матрицю можна множити саму на себе.

1) А + В = В + А А, В, С, Е - матриці 2) А + 0 = А α, β - числа 3) АЕ = ЕА = А 4) А + (В + С) = (А + В) + С = А + В + С 5) k(А + В) = kА + kВ 6) (α + β)∙А = αА + βА 7) α(β∙А) = (αβ)А 8) А(ВС) = (АВ)С = АВС 9) α(АВ) = А(αВ) = (αА)В = αАВ 10) (А + В)С = АС + ВС 11) С(А + В) = СА + ВС 12) 1∙ А = А 13) А∙ А^-1 = Е, де А^-1 – обернена.

Специфічні властивості матриць: 1) А∙ В В ∙ А 2) Якщо А∙ В та В ∙ А існують, то отримані матриці можуть бути різних розмірів. 3) А∙ В існує, а В ∙ А можливо не існує. 4) А∙ В = 0, то з цього не випливає, що В =0, або А = 0.

Властивості транспонованих матриць:   1) :Визначники квадратної і транспонованої матриць рівні. 2) А^тт = (А^т)^т = А, тобто 2 рази транспонована матриця дорівнює попередній матриці. 3) А , А^т .4)(kА)^т = kА^т 5) (А + В)^т = А^т + В^т 6) (АВ)^т = В^тА^т

Алгоритми знаходження оберненої матриці:

---

Дата добавления: 2015-07-25