Читайте также: |
|
Говорят, что некоторый ряд является линейной комбинацией параллельных рядов, если элементы данного ряда равны сумме произведений элементов параллельных рядов на некоторые числа
, среди которых есть хотя бы одно отличное от нуля. Если среди
параллельных рядов матрицы есть хотя бы один, который является линейной комбинацией остальных, то все
ряды называются линейно зависимыми, в противном случае ряды называются линейно не зависимыми.
Базисным минором матрицы называется отличный от нуля минор порядок которого равен рангу матрицы. Базисными строками (столбцами) называются строки и столбцы, на пересечении которых стоят элементы базисного минора.
Теорема: “О базисном миноре”.
Любой не базисный ряд, есть линейная комбинация параллельных ему базисных рядов. Базисные ряды (строки и столбцы) линейно не зависимы.
Доказательство:
Рассмотрим матрицу .
.
Не ограничивая общности можно считать, что базисный минор M (отличный от нуля) расположен в левом верхнем углу матрицы.
- базисный минор порядка
.
Все миноры , порядка большего на один, чем базисный минор, равны нулю по определению базисного минора и ранга матрицы.
Очевидно, .
Построим определитель , дописав к базисному минору любую
строку матрицы
и любой
столбец матрицы
, где
,
.
имеет порядок
.
Рассмотрим случаи:
10. Если ,
, тогда
(так как данный определитель будет содержать два одинаковых ряда).
20. Если или
, тогда
(так как этот определитель будет минором порядка на один большего, чем базисный, а он по условию равен 0).
Итак, .
Разложим по элементам
- строки:
(*) , где
- алгебраические дополнения элементов
.
Алгебраическое дополнение элемента равно базисному минору:
.
Из равенства (*) выразим :
.
(**) Тогда , где
.
Равенство (**) говорит о том, что - столбец не проходящий через минор
, есть линейная комбинация параллельных ему столбцов, проходящих через
. То есть столбец
равен линейной комбинации базисных столбцов. Для строк аналогичное доказательство с разложением
по
- столбцу.
3. воспользуемся доказательством от противного. Пусть среди базисных строк, есть линейно зависимые. В этом случае базисный минор содержит пропорциональные строки и равен 0. Но равенство 0 базисного минора противоречит его определению.
4. Следовательно, предположение не верно и базисные строки линейно не зависимы.
Дата добавления: 2015-07-19; просмотров: 168 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Ранг матрицы. | | | Выбор технологий обучения |